Td corrigé Agrégation Interne 2002 pdf

Agrégation Interne 2002

L'article a été écrit précisément le jeudi 27 : les correcteurs ont donc préféré « ce jeudi », tout simplement, à la date complète qui alourdissait la phrase. De toute ...




part of the document



même équation.
Equation de propagation de  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 . En utilisant  INCORPORER Equation.3 , on obtient :  INCORPORER Equation.3 . On retrouve la même équation de propagation avec la première jauge de Lorentz  INCORPORER Equation.3 , cas particulier de la seconde  INCORPORER Equation.3  avec V = cste. Il en résulte que ( est homogène à une longueur.

3. Equation locale de Poynting : on calcule  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 , ce qui s’écrit aussi, avec  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 . Le terme supplémentaire dans la densité d’énergie, lié au potentiel - vecteur, peut compenser le terme de pertes Joule, traduisant ainsi la propriété bien connue des supraconducteurs, pour se ramener à une équation de continuité de la forme (comme dans le vide, donc sans pertes) :  INCORPORER Equation.3 .

4. On part de l’équation de propagation de  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 , & on la réduit. Invariances par translation :  INCORPORER Equation.3 . Régime permanent :  INCORPORER Equation.3 . Il reste :
 INCORPORER Equation.3 . Le milieu est infini, pas d’onde réfléchie, le champ ne peut devenir infini, donc  INCORPORER Equation.3  d’où  INCORPORER Equation.3 . Il y a amortissement du champ même en régime permanent, à la différence de l’effet de peau dans un conducteur ordinaire : c’est l’effet Meissner.

5. On a :  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 , d’où :
 INCORPORER Equation.3  homogène.

Exo n°2 : Effet de peau.
1. Equations de Maxwell dans le conducteur :  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3  car, dans un conducteur  INCORPORER Equation.3 (loi locale d’Ohm), &  INCORPORER Equation.3 (équation de continuité de la charge électrique). Par élimination, en supposant que la conductivité ( est uniforme (donc ne dépend que du temps) :
 INCORPORER Equation.3 . La conductivité du cuivre valant :  INCORPORER Equation.3 , on a :  INCORPORER Equation.3 , & donc en régime permanent ( INCORPORER Equation.3 ) on a  INCORPORER Equation.3 . Enfin :
 INCORPORER Equation.3 . On calcule :  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 .
Le métal étant un milieu isotrope, ne peut modifier la polarisation de l’onde, donc le champ électrique dans le métal est, comme dans le vide, dirigé suivant l’axe Oz (passage d’un équation vectorielle à une équation scalaire). Le métal est globalement invariant par translation suivant les directions Ox & Oz, ce qui se traduit mathématiquement par :  INCORPORER Equation.3 . Il reste donc :  INCORPORER Equation.3 .
L’onde étant la propagation d’une vibration est un phénomène périodique dans le temps, donc le champ est représentable par une série de Fourier. L’équation d’onde étant linéaire, chaque terme de la série (purement sinusoïdal) la vérifie séparément, ce qui permet de travailler avec une dépendance sinusoïdale en temps en  INCORPORER Equation.3 , & donc pour tout problème on aura  INCORPORER Equation.3 , la différence se faisant sur la dépendance spatiale. En posant alors  INCORPORER Equation.3 , & en substituant dans l’équation d’onde, on obtient une équation différentielle déterminant la fonction  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 .
2. On a donc  INCORPORER Equation.3 , ce qui est largement vérifié dans le domaine électromagnétique (on ne va pas chercher à propager de la lumière dans du métal !), donc on a :
 INCORPORER Equation.3  & l’équation en f devient : INCORPORER Equation.3 , en posant :
 INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 , d’où :  INCORPORER Equation.3 , puis :  INCORPORER Equation.3 , soit aussi :
 INCORPORER Equation.3 . Le second terme étant une onde sinusoïdale amortie représente l’onde incidente (confirmé par le signe dans la phase), le premier terme donne une onde amortie si on lit la courbe de droite à gauche, & donc correspond à l’onde réfléchie (confirmé par le signe dans la phase). Comme le métal est un milieu infini, il n’y a pas d’onde réfléchie, donc A = 0.
Comme on néglige l’onde réfléchie par la surface du métal, il en résulte, par application de la relation de continuité sur le champ tangentiel, que  INCORPORER Equation.3 , d’où :
 INCORPORER Equation.3 , d’où, en notation réelle :  INCORPORER Equation.3 .
La courbe représente donc une sinusoïde amortie, de période  INCORPORER Equation.3 , ce qui revient à dire que :  INCORPORER Equation.3  & on retrouve toujours la même condition. La période de la sinusoïde amortie dans le métal est donc beaucoup plus courte que celle de la sinusoïde pure dans le vide.

3. Puissance Joule volumique :  INCORPORER Equation.3  (second membre de l’équation locale de Poynting), soit :
 INCORPORER Equation.3 . Si on utilise les notations complexes (cf puissance complexe) :  INCORPORER Equation.3 , ce qui donne :  INCORPORER Equation.3 . Sur le tuyau :  INCORPORER Equation.3  donc :  INCORPORER Equation.3 , soit aussi :
 INCORPORER Equation.3 . Pour en déduire la résistance  INCORPORER Equation.3 en haute fréquence, il faut écrire que  INCORPORER Equation.3 . On calcule :  INCORPORER Equation.3 . Les vecteurs  INCORPORER Equation.3  étant dirigés suivant Oz, le courant élémentaire traverse la bande a.dy vaut :  INCORPORER Equation.3  d’où on déduit le courant total :
 INCORPORER Equation.3 . On en déduit :  INCORPORER Equation.3 , puis  INCORPORER Equation.3 , donc de la forme classique :
 INCORPORER Equation.3  avec  INCORPORER Equation.3 (dimension le long du courant) &  INCORPORER Equation.3 (surface orthogonale au courant), & donc la résistance en haute fréquence du courant est la même que celle en courant continu d’un conducteur qui aurait la longueur (. Il en résulte que l’effet d’un courant haute fréquence ne se fait sentir que sur une épaisseur de l’ordre de (, d’où la technologie des circuits imprimés.
La conductivité du cuivre valant :  INCORPORER Equation.3 . On calcule :
Pour le secteur (fréquence 50 Hz, donc  INCORPORER Equation.3 ) :  INCORPORER Equation.3 
En électronique rapide (fréquence 1 MHz) :  INCORPORER Equation.3 .

Exo n°3 : Corde vibrante.
1. D’après l’énoncé, l’action du champ de pesanteur est négligée, ainsi que toute cause d’amortissement ; les seules forces extérieures appliquées à l’élément de corde sont donc les tensions :
INCORPORER Equation.3. INCORPORER Equation.3 au premier ordre en CARSPECIAUX 113 \f "Symbol" \s 12q. Comme on se limite aux mouvements transversaux, il n’y a pas d’accélération longitudinale (suivant Ox) & l’accélération transversale (suivant Oy) vaut : INCORPORER Equation.3. On écrit la relation fondamentale de la dynamique en projection :
Sur Ox : INCORPORER Equation.3
Sur Oy : INCORPORER Equation.3
A l’ordre 1, cos CARSPECIAUX 113 \f "Symbol" \s 12q CARSPECIAUX 187 \f "Symbol" \s 12» 1 & la norme de la tension est constante, & donc égale à T à l’extrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation, avec INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3. Or INCORPORER Equation.3 d’où INCORPORER Equation.3, d’où l’équation de d’Alembert : INCORPORER Equation.3, avec INCORPORER Equation.3.

2. La solution générale est donc de la forme :
 INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 . Conditions aux limites : on a des nœuds de vibration aux extrémités (corde fixée ou guidée), ce qui implique :
INCORPORER Equation.3 . Les ondes incidente & réfléchie sont en opposition de phase. Alors :  INCORPORER Equation.3 . Puis :
INCORPORER Equation.3.
Les conditions aux limites amènent naturellement la quantification des paramètres de l’onde : la longueur d’onde est quantifiée suivant : INCORPORER Equation.3, & la pulsation suivant :  INCORPORER Equation.3 . La solution générale s’écrit donc :  INCORPORER Equation.3 .
3. Un élément dx de corde possède l’énergie cinétique élémentaire  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 , d’où :
 INCORPORER Equation.3 . Dans le calcul de la valeur moyenne, les produits d’harmoniques différents donnent une valeur moyenne nulle ; il ne reste que les contributions des carrés, avec  INCORPORER Equation.3  d’où :  INCORPORER Equation.3 . Il reste à intégrer sur la corde :  INCORPORER Equation.3  soit finalement :
 INCORPORER Equation.3  en tenant compte de INCORPORER Equation.3.

Exo n°4 : Réflexion métallique.
1. Etude de l’onde incidente : l’onde étant transversale, kx = 0. Les autres composantes valent :
 INCORPORER Equation.3 . Onde plane :  INCORPORER Equation.3 . En développant :
 INCORPORER Equation.3 . Pour une onde plane :  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 . Avec  INCORPORER Equation.3 , on obtient :
 INCORPORER Equation.3 .

2. Etude des champs dans le métal : loi d’Ohm locale :  INCORPORER Equation.3 . Physiquement, la densité de courant  INCORPORER Equation.3  ne peut pas devenir infinie, donc  INCORPORER Equation.3 . Alors  INCORPORER Equation.3 , c’est la distance caractéristique de pénétration : les champs ne rentrent pas dans le conducteur parfait.

3. Etude de l’onde réfléchie : on rappelle les relations de continuité : appelons (1) le vide & (2) le métal. La surface de séparation étant le plan Oxy, le champ électrique est tangentiel, donc continu :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit que  INCORPORER Equation.3 . La relation de dispersion s’écrit  INCORPORER Equation.3 . Les ondes incidente & réfléchie se propagent dans le même milieu, donc même vitesse, & l’électromagnétisme étant linéaire, ont la même pulsation d’où le même module de vecteur d’onde. Avec la loi de Descartes de la réflexion, on obtient les composantes du vecteur d’onde  INCORPORER Equation.3 , soit :
 INCORPORER Equation.3 . Le champ réfléchi est alors de la forme :  INCORPORER Equation.3 , & on écrit la relation de continuité à l’origine, pour t = 0. Il reste :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit les composantes du champ électrique réfléchi :  INCORPORER Equation.3 . L’onde réfléchie est plane, donc :  INCORPORER Equation.3 . En développant :
 INCORPORER Equation.3 .


4. Etude des densités de charge & de courant à la surface du conducteur :les composantes normales du champ électrique étant nulles dans les deux milieux, on a  INCORPORER Equation.3 . Relation de continuité sur la composante tangentielle du champ magnétique orthogonale à la densité surfacique de courant :  INCORPORER Equation.3 . La composante tangentielle de  INCORPORER Equation.3 est By, orthogonale à l’axe Ox, direction logique de la densité de courant puisque c’est celle de  INCORPORER Equation.3  (& l’on a  INCORPORER Equation.3 ). On écrit donc :
 INCORPORER Equation.3  INCORPORER Equation.3 .

Exo n°5 : Propagation dans un plasma.
A. Equations générales de l’onde :
1.1. Equations de Maxwell :
INCORPORER Equation.3, INCORPORER Equation.3 car le plasma est électriquement neutre. Comme  INCORPORER Equation.3  :
INCORPORER Equation.3. On calcule : INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3.

1.2.  INCORPORER Equation.3 . On reporte dans l’équation de propagation, en tenant compte de la relation de Maxwell  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 .

1.3. L’équation INCORPORER Equation.3 donne, avec  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 , soit :  INCORPORER Equation.3 , soit enfin :  INCORPORER Equation.3 .

B. Densité de polarisation du plasma :
2.1. Force de Lorentz :  INCORPORER Equation.3 . Rapport des modules des eux forces dues aux deux champs :
 INCORPORER Equation.3 , & la force magnétique est négligeable devant la force électrique.

2.2. Relation fondamentale de la dynamique :  INCORPORER Equation.3 , le poids de la particule étant négligeable. Le second membre est périodique de période  INCORPORER Equation.3 , il en est de même du premier membre, donc on a une solution forcée sinusoïdale  INCORPORER Equation.3 . Par substitution, on obtient  INCORPORER Equation.3 . Comme  INCORPORER Equation.3 , l’amplitude de vibration des protons sera négligeable devant celle des électrons. Par la suite, on considérera donc les protons immobiles.

C. Pulsation limite du plasma :
3.1. En l’absence de champ extérieur dû à l’onde, l’électron est très proche du proton & le moment dipolaire est nul. Sous l’effet du champ de l’onde, en considérant que le proton reste fixe, l’électron se déplace de y, & il apparaît un moment dipolaire induit donné par :  INCORPORER Equation.3  puisqu’en physique le moment dipolaire est orienté de la charge négative vers la charge positive. On en déduit le vecteur polarisation :  INCORPORER Equation.3 .

3.2. En introduisant la pulsation plasma (p définie par :  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 .

3.3. Relation de dispersion :  INCORPORER Equation.3 . Donc :
Si  INCORPORER Equation.3 réel, propagation (milieu transparent) ;
Si  INCORPORER Equation.3 imaginaire pur  INCORPORER Equation.3 , donc  INCORPORER Equation.3 , on a une onde évanescente, il y a amortissement de l’onde qui ne pénètre que sur la distance  INCORPORER Equation.3 .

Exo n°6 : Ondes sonores dans les fluides.
1. Dans l’étude générale du mouvement d’un fluide, on a 6 inconnues  INCORPORER Equation.3  qui dépendent des 4 variables  INCORPORER Equation.3 . Elles sont déterminées par les 6 équations suivantes : équation vectorielle d’Euler, & 3 équations scalaires : continuité de la masse, équation d’état du fluide, invariant du processus thermodynamique. On s’intéresse à l’aspect mécanique du problème, & donc on ignorera la variable thermodynamique T. Les équations déterminant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores sont dans ces conditions :
 INCORPORER Equation.3 
L’équation (1) est une équation de continuité traduisant la conservation de la masse. L’équation (2) est une forme de l’équation d’Euler :
 INCORPORER Equation.3 , avec l’hypothèse suivante : 
on néglige le poids du fluide, car s’il n’était pas nul, il serait compensé par la poussée d’Archimède, résultante des forces de pression non nulle seulement s’il y a variation de pression (d’autre part, en règle générale, le mouvement du fluide aura lieu suivant une direction orthogonale au champ de pesanteur).
L’équation (3) traduit l’invariant du processus thermodynamique, donc isentropique.
A l’ordre 1, on obtient donc :

 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 

2. Pour obtenir l’équation de propagation de la pression, on prend la divergence de l’équation (5) :
 INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations (4) & (5), & en remarquant qu’à l’ordre 1, l’équation (6) montre que le coefficient (s est constant :  INCORPORER Equation.3 , on obtient l’équation cherchée :  INCORPORER Equation.3 , avec  INCORPORER Equation.3 . Pour un gaz parfait :
 INCORPORER Equation.3  pour une isentropique. On prend la différentielle logarithmique :  INCORPORER Equation.3 , d’où on déduit :  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3  & donc :  INCORPORER Equation.3 , c’est la formule de Laplace.
Avec le formalisme de l’onde plane :  INCORPORER Equation.3 , l’équation (5) devient :
 INCORPORER Equation.3 .
3. On isole un élément de surface  INCORPORER Equation.3  à l’intérieur du fluide. Alors la puissance élémentaire dP associée à la force élémentaire  INCORPORER Equation.3  est donnée par :  INCORPORER Equation.3 , & donc la puissance sonore traversant une surface S vaut :  INCORPORER Equation.3 , & apparaît comme le flux du vecteur  INCORPORER Equation.3 .
Comme en électromagnétisme, on calcule la divergence du vecteur  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations précédentes, on obtient :
 INCORPORER Equation.3 .
Avec  INCORPORER Equation.3 , on obtient :
 INCORPORER Equation.3  , densité d’énergie.
On en déduit que l’énergie cinétique volumique vaut  INCORPORER Equation.3 , & l’énergie potentielle volumique vaut :  INCORPORER Equation.3 .








































Page  PAGE 9 sur  NBPAGES 9

Agrégation Interne 2002 Corrigé des exercices de propagation



 :