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Principe Fondamental de la Statique et applications

Connaître quelques effets sur un solide de forces dont le ou les points d' application se déplacent. ... 1°/ L'effort fourni par l'homme est-il le même dans les trois cas ? .... Soit un solide en translation soumis à plusieurs forces. ... Quand un solide S se déplace sous l'action de plusieurs forces, pendant la durée , chacune des ...




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 EMBED Word.Picture.8  Table des Matières
 TOC \o "1-2" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc62494028" Modélisation des liaisons  PAGEREF _Toc62494028 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc62494029" 1 - Degrés de liberté d’un solide  PAGEREF _Toc62494029 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc62494030" 2 - Liaisons élémentaires de 2 solides  PAGEREF _Toc62494030 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc62494031" 3 - Modélisation d’un mécanisme  PAGEREF _Toc62494031 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc62494032" Modélisation des Actions Mécaniques  PAGEREF _Toc62494032 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc62494033" 1 - Définition d’une Action Mécanique (A.M.)  PAGEREF _Toc62494033 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc62494034" 2 - Une A.M. particulière : la Force  PAGEREF _Toc62494034 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc62494035" 3 - A.M. assimilables à des forces  PAGEREF _Toc62494035 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc62494036" 4 - Moment d’une force par rapport à un point  PAGEREF _Toc62494036 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc62494037" 5 - Modélisation d’une force par un torseur  PAGEREF _Toc62494037 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc62494038" 6 - Modélisation d’une A.M. quelconque par un torseur  PAGEREF _Toc62494038 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc62494039" 7 - Changement du point de réduction d’un torseur  PAGEREF _Toc62494039 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc62494040" 8 - Torseurs particuliers  PAGEREF _Toc62494040 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc62494041" 9 - A.M. transmissibles par les liaisons usuelles  PAGEREF _Toc62494041 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc62494042" Principe Fondamental de la Statique  PAGEREF _Toc62494042 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc62494043" 1 - Isolement d’un système matériel  PAGEREF _Toc62494043 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc62494044" 2 - Equilibre d’un système matériel dans un repère galiléen  PAGEREF _Toc62494044 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc62494045" 3 - Principe fondamental de la statique  PAGEREF _Toc62494045 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc62494046" 4 - Cas d’un système soumis à 2 ou 3 forces  PAGEREF _Toc62494046 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc62494047" 5 - Simplification plane  PAGEREF _Toc62494047 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc62494048" 6 - Equilibre isostatique ou hyperstatique  PAGEREF _Toc62494048 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc62494049" 7 - Démarche de résolution d’un problème de statique  PAGEREF _Toc62494049 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc62494050" Cinématique  PAGEREF _Toc62494050 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc62494051" 1 - Trajectoire, vitesse, accélération  PAGEREF _Toc62494051 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc62494052" 2 - Mouvements plans  PAGEREF _Toc62494052 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc62494053" 3 - Torseur cinématique  PAGEREF _Toc62494053 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc62494054" Energétique  PAGEREF _Toc62494054 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc62494055" 1 - L’énergie  PAGEREF _Toc62494055 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc62494056" 2 - La puissance  PAGEREF _Toc62494056 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc62494057" 3 - Le principe de la conservation de l’énergie  PAGEREF _Toc62494057 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc62494058" 4 - Rendement d’un système  PAGEREF _Toc62494058 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc62494059" 5 - Travail et puissance d’une action mécanique  PAGEREF _Toc62494059 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc62494060" 6 - Les différentes formes de l’énergie mécanique  PAGEREF _Toc62494060 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc62494061" 7 - Conservation de l’énergie mécanique  PAGEREF _Toc62494061 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc62494062" 8 - Théorème de l’énergie cinétique  PAGEREF _Toc62494062 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc62494063" Dynamique  PAGEREF _Toc62494063 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc62494064" 1 - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.)  PAGEREF _Toc62494064 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc62494065" 2 - P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de translation (rectiligne ou curviligne)  PAGEREF _Toc62494065 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc62494066" 3 - P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe de symétrie de (S)  PAGEREF _Toc62494066 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc62494067" Résistance des matériaux  PAGEREF _Toc62494067 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc62494068" 1 - Hypothèses de la R.D.M.  PAGEREF _Toc62494068 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc62494069" 2 - Torseur de cohésion d’une poutre  PAGEREF _Toc62494069 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc62494070" 3 - Contraintes locales dans le matériau  PAGEREF _Toc62494070 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc62494071" 4 - Caractéristiques mécaniques d’un matériau  PAGEREF _Toc62494071 \h 38
 HYPERLINK \l "_Toc62494072" 5 - Traction – Compression  PAGEREF _Toc62494072 \h 38
 HYPERLINK \l "_Toc62494073" 6 - Cisaillement  PAGEREF _Toc62494073 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc62494074" 7 - Torsion  PAGEREF _Toc62494074 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc62494075" 8 - Flexion  PAGEREF _Toc62494075 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc62494076" Mécanique des fluides  PAGEREF _Toc62494076 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc62494077" 1 - Hypothèses  PAGEREF _Toc62494077 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc62494078" 2 - Statique des fluides (hydrostatique)  PAGEREF _Toc62494078 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc62494079" 3 - Ecoulement permanent  PAGEREF _Toc62494079 \h 43

Modélisation des liaisons
Degrés de liberté d’un solide
 EMBED Word.Picture.8 Un solide libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté (ou mobilités) :
- 3 translations
- 3 rotations

Ces 6 degrés de liberté permettent au solide d’occuper n’importe quelle position dans l’espace.
Si ce solide est une pièce d’un système mécanique (ex : aiguille d’une montre, roue d’une voiture, contact mobile d’un disjoncteur…) le nombre de ses degrés de liberté sera limité par les liaisons qu’il entretient avec les autres pièces du système.

Liaisons élémentaires de 2 solides
Les liaisons élémentaires sont les liaisons les plus courantes qui peuvent unir 2 pièces d’un mécanisme.

On peut reconnaître une liaison élémentaire entre 2 solides :
- en observant les mouvements possibles d’un solide par rapport à l’autre
- en identifiant la nature des surfaces de contact entre les 2 solides.

Pour que les mobilités de la liaison puissent être clairement définies, il faut les exprimer dans un repère qui possède une orientation particulière par rapport à la liaison.

On les représente à l’aide de schémas normalisés (voir tableau ci-après) qui permettent de modéliser un mécanisme sous la forme d’un schéma cinématique (comme on modélise un circuit électrique par un schéma électrique).

Une liaison élémentaire peut être obtenue par association d’autres liaisons élémentaires (ex : glissière d’un étau réalisée par 2 pivots glissants).
Toute liaison élémentaire peut-être obtenue par association de liaisons ponctuelles.

Nature de la liaison et position par rapport au repère Schématisation spatialeSchématisation planeMouvements possibles dans le repère donnéEncastrement
 EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Glissière d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Pivot d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6   EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Pivot glissant d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Hélicoïdale d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Rotule de centre A EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Linéaire annulaire de centre A et d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6   EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Appui plan de normale (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Linéaire rectiligne de normale (A, EMBED Equation.2 ) et de droite de contact (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8 Ponctuelle de normale (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  Modélisation d’un mécanisme
( But de la modélisation :la modélisation consiste à représenter un mécanisme de façon simplifiée afin d’étudier son comportement mécanique.
( Méthode générale pour modéliser un mécanisme :

EtapesConseilsExemple du serre-joint
1°) Repérer quels sont les différents groupes cinématiques (ou sous-ensembles cinématiquement liés ou encore classes d’équivalence).
Repérer les liaisons encastrement puis colorier d’une même couleur toutes le pièces liées entre elles.
Lister les pièces composant chacun des groupes :
A = { 1, 3, …}
B = { 2,5, …} EMBED Word.Picture.8 
2°) Identifier la nature des liaisons existant entre les groupes pour réaliser le graphe des liaisons.
Pour reconnaître une liaison entre 2 groupes :
- observer les mobilités possibles entre ces 2 groupes sans tenir compte des mobilités supprimées par des liaisons avec d’autres groupes.
- identifier la nature de la surface de contact entre les 2 groupes EMBED Word.Picture.8 
3°) Etablir le schéma cinématique du mécanisme en utilisant la représentation normalisée des liaisons.

Il est inutile de respecter les dimensions.
Par contre il faut absolument respecter la position relative et l’orientation des liaisons. EMBED Word.Picture.8 
4°) Résoudre un problème technique en appliquant les lois de la mécanique.
ça c’est pour plus tard …Ex : connaissant l’effort de serrage exercé par le patin « D » sur la pièce à serrer, on désire connaître l’effort exercé par le coulisseau « B » sur le mors fixe « A ».
Modélisation des Actions Mécaniques
Définition d’une Action Mécanique (A.M.)
Une A.M. est un phénomène physique capable de :

 EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Word.Picture.8 On distingue :
- Les A.M. de contact ou surfaciques, exercées par un solide sur un autre solide par l’intermédiaire de leur surface de contact.
- Les A.M. à distance ou volumique, qui s’exercent sur tous les éléments de volume du solide sans qu’il y ait besoin de contact (ex : action de la pesanteur, forces magnétiques).

Remarque importante :
Si un système 1 exerce sur un système 2 une A.M., alors le système 2 exerce sur le système 1 une A.M. exactement opposée.
C’est ce que l’on appelle le principe des actions réciproques ou la troisième loi de Newton.


Ex : une balle de tennis exerce sur la raquette une A.M. exactement opposée à celle qu‘exerce la raquette sur la balle.
Une A.M. particulière : la Force
Définition

Une force est l’action qu’exerce un solide sur un autre solide lorsqu’ils sont en liaison ponctuelle.
 EMBED Word.Picture.8 Caractéristiques

La force est définie par :
( un point d’application : le point de contact entre les 2 solides (ici le point A)
( une direction : normale (=perpendiculaire) au plan tangent au contact.
( un sens : du solide 1 vers le solide 2 s’il s’agit de l’A.M. de 1 sur 2.
( une intensité exprimée en Newton (N)Modèle mathématique
Le modèle mathématique de la force est le vecteur lié ou pointeur, c’est à dire un vecteur auquel on associe un point origine.
Pour la force exercée en A par le solide 1 sur le solide 2, on utilisera la notation suivante :
 EMBED Equation.3 
dont les propriétés algébrique sont les suivantes : EMBED Word.Picture.8 
Coordonnées du point d‘application
(en mm ou en m)Composantes algébriques du vecteur
(en N)Norme du vecteur = intensité de la force
(en N)En 2D EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 En 3D EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 notation simplifiée :  EMBED Equation.3 

A.M. assimilables à des forces
Le poids d’un solide
La pesanteur ou attraction terrestre agit sur chaque petit élément constituant un solide (A.M. à distance ou volumique).
La somme de ces petites actions mécaniques élémentaires est équivalente à une force dont les caractéristiques sont les suivantes :

( point d’application :G, centre de gravité du solide( direction :Verticale( sens :Vers le bas( intensité : EMBED Equation.3  en Newton (N)
 EMBED Equation.3  : masse du solide en Kg
 EMBED Equation.3  : accélération de la pesanteur en m.s-2
 EMBED Equation.3  mais on prendra  EMBED Equation.3  (2% d’erreur)

Cette force notée  EMBED Equation.3  s’appelle le poids du solide :
 EMBED Word.Picture.8 Les forces de pression
Un fluide sous pression (air, huile, …) en contact avec un solide exerce sur chaque élément de surface du solide une action mécanique élémentaire (A.M. de contact ou surfacique).
La somme de toutes ces A.M. élémentaires est équivalente à une force dont voici les propriétés :

( point d’application :C, centre géométrique de la surface en contact avec le fluide( direction :normale (perpendiculaire) à la surface( sens :du fluide vers la surface( intensité : EMBED Equation.3  en Newton (N)
 EMBED Equation.3  : pression du fluide en Pa (Pascal) ; 1 Pa = 1 N/m2
 EMBED Equation.3  : surface de contact en m2 EMBED Word.Picture.8 
Force exercée par un ressort hélicoïdal
Un ressort hélicoïdal se comprime ou s'étire proportionnellement à l'effort qui lui est appliqué.
 EMBED Word.Picture.8  La force appliquée sur le ressort a les propriétés suivantes :

( point d’application :extrêmité du ressort( direction :le long de l'axe du ressort( sens :dépend du sens de déformation du ressort (compression ou extension)( intensité : EMBED Equation.3  en Newton (N)
 EMBED Equation.3  : raideur du rssort en N/mm
 EMBED Equation.3  : flèche (déformation du ressort) en mm
Remarque : la raideur d'un ressort dépend du matériau qui le compose (généralement de l'acier spécial dit "acier à ressort").
Les autres caractéristiques d'un ressort hélicoïdal qui font varier sa raideur sont :
D : diamètre d’enroulement du ressort (k diminue si D augmente)
d : diamètre du fil du ressort (k augmente si d augmente)
n : nombre de spires du ressort (k diminue si n augmente)
 EMBED Word.Picture.8 
Moment d’une force par rapport à un point
Signification physique du moment d’une force

Le moment d’une force par rapport à un point est un outil qui permet de mesurer la capacité de cette force à créer un mouvement rotation autour de ce point.

Ex : le moment de la force de l’utilisateur par rapport au point A est sa capacité à faire tourner la porte autour du point A :
 EMBED Word.Picture.8 Modèle mathématique du moment d’une force
On considère une force appliquée en un point B et un point A quelconque.
Le moment de  EMBED Equation.3  par rapport au point A est un vecteur noté  EMBED Equation.3  dont les caractéristiques sont les suivantes : EMBED Word.Picture.8 
( direction :perpendiculaire au plan contenant le point A et la force  EMBED Equation.3  :( sens :on applique la règle du « tire-bouchon » en considérant que  EMBED Equation.3  fait tourner le tire-bouchon autour de A. :( intensité :elle s’exprime en Newton mètre (N.m) et on a 3 façons équivalentes de la déterminer : EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.3  EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.3  EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.3 
Détermination analytique du moment d’une force
un outil mathématique : le produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération entre 2 vecteurs qui donne comme résulta un vecteur.
On note  EMBED Equation.3  qui se lit : « V1 vectoriel V2 »
Si on a   EMBED Equation.3  alors les caractéristiques de  EMBED Equation.3  sont les suivantes :
( direction :Perpendiculaire à  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  donc au plan défini par  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
( sens :Règle du tire-bouchon quand on rabat  EMBED Equation.3  sur  EMBED Equation.3 ( intensité : EMBED Equation.3 
(( : angle entre les 2 vecteurs)calcul analytique du produit vectoriel
on a les vecteurs suivants :  EMBED Equation.3 
si  EMBED Equation.3  alors  EMBED Equation.3 

méthode mnémotechnique :
détermination du moment à l’aide du produit vectoriel
 EMBED Word.Picture.8 Le moment par rapport au point A de la force appliquée en B a pour expression :
 EMBED Equation.3 si les coordonnées des vecteurs et des points sont les suivantes :
 EMBED Equation.3 
alors on a :  EMBED Equation.3 


Modélisation d’une force par un torseur
Nous avons vu qu’une force était complètement définie par :
- un point d’application (ex : B)
- un vecteur (ex :  EMBED Equation.3 )

Elle peut être aussi complètement définie par :
- un vecteur (ex :  EMBED Equation.3 )
- son moment par rapport à un point quelconque (ex :  EMBED Equation.3  )

On peut alors modéliser la force à l’aide d’un torseur :
 EMBED Word.Picture.8 

Modélisation d’une A.M. quelconque par un torseur
Toute action mécanique (force ou autre) exercée sur un système S par une entité E extérieure à S peut être modélisée par un torseur :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
est la résultante de l’A.M. de E sur S EMBED Equation.3 
est le moment résultant au point A de l’A.M. de E sur S
Remarques :(Un même torseur peut s’écrire en n’importe quel point :
 EMBED Equation.3 
son expression varie mais il modélise toujours la même A.M.
(La résultante d’un torseur est invariante (ne change pas) quel que soit le point auquel on exprime le torseur.
 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3  est souvent la somme des torseurs des forces élémentaires qu’exerce E sur S.
On peut faire la somme de 2 torseurs uniquement s’ils sont exprimés au même point (même point de réduction). Dans ce cas on additionne les résultantes entre elles et les moments entre eux :
 EMBED Equation.3 
(Le Principe des actions réciproques stipule que l’A.M. d’un système E sur un système S est exactement opposée à l’A.M. de S sur E :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Changement du point de réduction d’un torseur
Lorsqu‘on change le point de réduction d’un torseur, seule l’expression du moment résultant varie.
La loi du transport des moments permet alors, connaissant le moment de l’A.M. en un point, de déterminer le moment en n’importe quel point :
 EMBED Equation.3 


Torseurs particuliers
Le torseur glisseur
Un torseur glisseur est un torseur qui peut toujours s’écrire avec un moment résultant nul, à condition qu’on l’exprime en un point d’une droite particulière appelée axe principal du torseur :
 EMBED Equation.3  si  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  : axe principal du torseur

ex : Les A.M. de type force sont modélisables par des glisseurs. En effet, quelle que soit le point de la droite d’action de la force où l’on exprime le torseur, son moment résultant est nul :
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.3 

car  EMBED Equation.3 Le torseur couple
Un torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle quel que soit le point auquel on l’exprime :
 EMBED Equation.3 
D’après la loi du transport des moments :
 EMBED Equation.3  car  EMBED Equation.3 
Donc l’expression d’un torseur couple reste la même quel que soit son point de réduction.

ex : l’A.M. qu’exerce le stator d’un moteur électrique sur son rotor peut être modélisée par un torseur couple


A.M. transmissibles par les liaisons usuelles
Cas des liaisons parfaites
On dit que des liaisons sont « parfaites » si on considère qu’il n’y pas de frottement, c’est à dire que les déplacements autorisés par la liaison se font sans aucune résistance.
Lorsque 2 pièces (ou groupes cinématiques) sont liées par une liaison usuelle parfaite, la forme de l’A.M. qu’elles peuvent exercer l’une sur l’autre dépend de la nature de la liaison (voir tableau).
Si la liaison permet un mouvement de translation suivant une direction, aucune résultante ne peut alors être transmise suivant cette direction.
Si la liaison permet un mouvement de rotation autour d’un axe, aucun moment ne peut alors être transmis selon cet axe.

Nature de la liaison et position par rapport au repèreSchématisation spatialeSchématisation planeMouvements possiblesTorseur transmissible
 EMBED Equation.2  au point AEncastrement
R quelconque EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Glissière d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Pivot d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Pivot glissant d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Rotule de centre A EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Linéaire annulaire de centre A et d'axe (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Appui plan de normale (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Linéaire rectiligne de normale (A, EMBED Equation.2 ) et de droite de contact (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Ponctuelle de normale (A, EMBED Equation.2 ) EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.6  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 
Cas des contacts avec frottement
Jusqu’à présent nous avons considéré les liaisons comme parfaites, c’est à dire sans efforts dus au frottement.
Dans la réalité, les frottements vont créer des efforts supplémentaires qui s’opposent aux déplacements.

ex : contact ponctuel

Sans frottementAvec frottement EMBED Equation.3  est normale à la surface de contact. EMBED Equation.3  est comprise dans un cône de demi-angle au sommet  EMBED Equation.3  par rapport à la normale au contact.

Le coefficient de frottement  EMBED Equation.3  dépend essentiellement du couple de matériaux en contact.
Tant que  EMBED Equation.3  est à l’intérieur du cône de frottement d’angle  EMBED Equation.3 , il n’y a pas glissement possible entre les solides 1 et 2 (on dit qu’il y a adhérence).


Lorsqu’il y a glissement entre 1 et 2,  EMBED Equation.3  se trouve en limite du cône d’adhérence et fait donc un angle  EMBED Equation.3  avec la normale au contact :




L’effort réel C1/2 se décompose en un effort normal au contact N et un effort tangentiel au contact T .
On a donc :  EMBED Equation.3 

Principe Fondamental de la Statique
Isolement d’un système matériel
On appelle Système Matériel une quantité de matière dont la masse reste constante pendant qu’on l’étudie.
Un système matériel peut être :
- un solide (ex : mors mobile de l’étau)
- un ensemble de solides (ex : l’étau complet)
- une masse de fluide (ex : l’eau d’un barrage E.D.F.)
- des solides et des fluides (ex : un vérin hydraulique)

Isoler un système matériel consiste à « diviser » l’univers en 2 parties :
- le système matériel considéré, noté  EMBED Equation.3 .
- le milieu extérieur à  EMBED Equation.3 , c’est à dire tout ce qui n’est pas  EMBED Equation.3  et qui est susceptible d’agir sur lui, que l’on note  EMBED Equation.3 .

On distingue alors :
- les A.M. intérieures à  EMBED Equation.3 , qui agissent entre les éléments de  EMBED Equation.3 .
- les A.M. extérieures à  EMBED Equation.3 , qui sont exercées par  EMBED Equation.3  sur  EMBED Equation.3 .

L’ensemble des A.M. extérieures peut être modélisée par un unique torseur expimé en un point  EMBED Equation.3  quelconque:
 EMBED Equation.3 

Equilibre d’un système matériel dans un repère galiléen
Un système matériel est en équilibre par rapport à un repère s’il est immobile dans ce repère.
Un repère est dit galiléen s’il est fixe ou en mouvement de translation rectiligne à vitesse constante dans l’univers.
Pour nos études de mécanique, les repères liés à la Terre ou en translation rectiligne à vitesse constante par rapport à la Terre seront considérés comme galiléens.

Ex : ( un repère lié à un véhicule qui roule en ligne droite à vitesse constante sera considéré comme galiléen.
( un repère lié à un véhicule qui prend un virage, qui freine ou qui accélère ne pourra pas être considéré comme galiléen.

Principe fondamental de la statique
Si un système matériel S est en équilibre dans un repère galiléen, alors le torseur des A.M. extérieures est égal au torseur nul :
 EMBED Equation.2 
Ce qui se traduit par 2 théorèmes :

( Théorème de la résultante statique :
Si le système est en équilibre alors la somme des résultantes des A.M. extérieures est nulle.

( Théorème du moment statique :
Si le système est en équilibre alors la somme des moments des A.M. extérieures par rapport à un même point est nulle.

Remarques :(L’application du P.F.S. fournit 6 équations :théorème de la résultante statique :  EMBED Equation.3 théorème du moment statique :  EMBED Equation.3 
(Attention !
Si le torseur des A.M. extérieures à un système est nul, le système n’est pas forcément en équilibre.

C’est la première loi de Newton ou principe de l’inertie (initialement formulé par Galilée)



Ex : une paire de ciseaux 
Si l’utilisateur exerce 2 forces opposées sur les ciseaux, le torseur des A.M. extérieures aux ciseaux est nul, mais le système n’est pas en équilibre (les ciseaux vont se fermer à vitesse constante) EMBED Word.Picture.8 
Cas d’un système soumis à 2 ou 3 forces
Système soumis à 2 forces
Soit un système S en équilibre sous l’action de 2 forces  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  appliquées en A et en B.
L’application du P.F.S. se traduit par :

( Le théorème de la résultante statique :
 EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
Conclusion :Les 2 forces sont opposées (même norme, même direction, sens contraire)
( Le théorème du moment statique :
La somme des moments de chacune de ces forces par rapport à un point quelconque est nulle.

ex : EMBED Word.Picture.8 On doit avoir :
 EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3  car A est le point d’application de la force
donc  EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3 
comme  EMBED Equation.3  alors  EMBED Equation.3 Conclusion :Les 2 forces ont même droite d’action.
En résumé :Si un système est en équilibre sous l’action de 2 forces alors ces 2 forces sont opposées et ont même droite d’action.
Système soumis à 3 forces
Soit un système S en équilibre sous l’action de 3 forces quelconques  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  appliquées aux points A, B et C.
Le P.F.S. se traduit alors par :

( Le théorème de la résultante statique :
 EMBED Equation.3 
Ceci se traduit graphiquement par le fait que le triangle formé par les 3 vecteurs mis bout à bout est fermé et donc que les 3 vecteurs sont contenus dans un même plan. EMBED Word.Picture.8 Conclusion :La somme vectorielle des 3 vecteurs force est nulle et ces 3 vecteurs sont donc coplanaires.
( Le théorème du moment statique :
La somme des moments de chacune des 3 forces par rapport à un point quelconque est nulle.

ex :Soit I le point d’intersection des droites d’action de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
On doit avoir :
 EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 car I est sur les droites d’action de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
donc  EMBED Equation.3 
donc  EMBED Equation.3 
comme  EMBED Equation.3  alors  EMBED Equation.3 Conclusion :Les droites d’action des 3 forces sont concourantes.
Attention,
cas particulier :
Si 2 des 3 forces sont parallèles alors elles ne peuvent pas être concourantes.
Dans ce cas, la 3ème force est forcément parallèle aux 2 autres pour que leur somme vectorielle puisse être nulle.
De plus pour que le théorème du moment statique soit respecté, les 3 forces doivent se trouver dans un même plan.

En résumé :Si un système est en équilibre sous l’action de 3 forces non parallèles, alors ces 3 forces sont concourantes, coplanaires et de somme vectorielle nulle.
Si un système est en équilibre sous l’action de 3 forces dont 2 sont parallèles, alors ces 3 forces sont parallèles, coplanaires et de somme vectorielle nulle. Simplification plane
Si la géométrie des liaisons d’un système matériel présente un plan de symétrie et que les A.M. extérieures exercées sur ce système sont symétriques par rapport à ce plan, alors on peut admettre que le mécanisme est « plan », c’est à dire que :
- les résultantes des A.M. extérieures sont contenues dans le plan de symétrie
- les moments des A.M. extérieures sont perpendiculaires au plan de symétrie.
 EMBED Word.Picture.8 
Le plan (O,x,y) est plan de symétrie de la géométrie et des A.M. extérieurs donc toutes les A.M. s’écrivent sous la forme suivante : EMBED Word.Picture.8  L’application du PFS ne nécessite donc que la résolution de 3 équations :
 EMBED Equation.3 
Equilibre isostatique ou hyperstatique
Définition
Un système matériel est en équilibre isostatique si les composantes inconnues des torseurs des A.M. extérieures peuvent être déterminées uniquement avec les 6 équations fournies par le P.F.S. (3 équations dans le cas d’un système plan).
Dans le cas contraire (plus d’inconnues que d’équations fournies par le PFS), on dit que le système est en équilibre hyperstatique.
Comment reconnaître un système en équilibre hyperstatique ?
Si le système que l’on isole possède plus de liaisons élémentaires avec l’extérieur que le strict minimum permettant d’assurer ses mobilités, alors il est en équilibre hyperstatique.
Exemples de systèmes en équilibre iso ou hyperstatique
Systèmes isostatiques :
- la porte avec une seule charnière
- un tabouret en appui sur 3 pieds
Systèmes hyperstatiques :
- la porte avec plus d’une charnière
- le coulisseau de la carrelette avec ses 2 liaisons pivot glissant
- un tabouret en appui sur 4 piedsComment résoudre un problème hyperstatique ?
( En formulant des hypothèses simplificatrices
ex : pour le cric hydraulique on fait l’hypothèse que les A.M. sur les roues sont identiques de chaque côté (hypothèse de symétrie)
ex : pour la carrelette on a remplacé les 2 pivots glissants par une glissière
( En faisant appel à des calculs d’élasticité des matériaux (hors programme).
Avantages et inconvénients des systèmes iso ou hyperstatiques

AvantagesInconvénientsSystème Isostatique( Calcul aisé des efforts ext.
( Montage facile
( Positionnement relatif peu précis des liaisons( Solidité et rigidité réduites ou obtenues en apportant beaucoup de matière.Système Hyperstatique( Solidité et rigidité avec peu de matière( Difficultés de calcul des efforts
( Montage parfois délicat
( Nécessité de réalisation des liaisons avec plus de précision.
Démarche de résolution d’un problème de statique
 EMBED Word.Picture.6 

Remarques :(Pour simplifier la résolution il est conseillé d’appliquer le théorème du moment statique au centre d’une liaison dont le torseur associé comporte beaucoup d’inconnues. On limite ainsi le nombre d’inconnues dans les équations obtenues.
(Lorsqu’un système comporte beaucoup de pièces à isoler, il est conseillé de commencer par isoler les solides soumis à 2 forces.
Ceci permet de déterminer rapidement la direction de ces forces et simplifie les calculs par la suite.Cinématique
Trajectoire, vitesse, accélération
Position d’un solide
 EMBED Word.Picture.8  La position d’un solide par rapport à un repère R est définie par les coordonnées de ses différents point dans ce repère.
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Ces coordonnées varient en fonction du temps.Trajectoire d’un point et abscisse curviligne
 EMBED Word.Picture.8  La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions qu’il a occupé pendant un intervalle de temps donné.
L’abscisse curviligne s est la longueur de l’arc allant de l’origine de la trajectoire A0 (position de A à t=0) au point A (position à l’instant présent).
 EMBED Equation.3 Vitesse d’un point
vitesse moyenne
La vitesse moyenne d’un point A entre 2 dates t1 et t2 est :

 EMBED Equation.3 
en m/s (ou m.s-1) EMBED Word.Picture.8 
vecteur vitesse instantannée
Les propriétés du vecteur vitesse du point A à l’instant t sont les suivantes :
 EMBED Word.Picture.8 

 EMBED Equation.3 point d’application : A (position à l’instant t)direction : tangente à la trajectoiresens : sens de parcours de la trajectoireintensité :  EMBED Equation.3 
en m/s (ou m.s-1)
Le vecteur vitesse instantanée est en fait la dérivée par rapport au temps du vecteur position :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 
Accélération d’un point
vecteur accélération instantanée
 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  intensité en m/s2 (ou m.s-2)
accélération normale et tangentielle
Le vecteur accélération instantanée peut toujours se décomposer en :
- un composante perpendiculaire à la trajectoire : l’accélération normale
- un composante tangente à la trajectoire : l’accélération tangentielle
 EMBED Equation.3 
(  EMBED Equation.3  est dans le sens de la trajectoire si le point A accélère et dans le sens opposé s’il ralentit.
 EMBED Equation.3 
(  EMBED Equation.3  est toujours dirigée vers l’intérieure de la courbure de la trajectoire.
 EMBED Equation.3  R : rayon de courbure de la trajectoire EMBED Word.Picture.8 Mouvements particuliers d’un point
Mouvement rectiligne uniforme (M.R.U.)
La trajectoire du point est rectiligne et sa vitesse est constante.
Si  EMBED Equation.3  est l’axe de la trajectoire, l’équation des abscisses est :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : abscisse du point sur  EMBED Equation.3  en fonction du temps  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : vitesse constante (indépendante de  EMBED Equation.3 )
 EMBED Equation.3  : abscisse à  EMBED Equation.3 
Mouvement rectiligne uniformément varié (M.R.U.V.)
La trajectoire est rectiligne et l’accélération est constante (positive ou négative).
Si  EMBED Equation.3  est l’axe de la trajectoire,
( l’équation de la vitesse est :  EMBED Equation.3 
( l’équation des abscisses est :  EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : vitesse en fonction du temps  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : abscisse du point sur  EMBED Equation.3  en fonction du temps  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : accélération constante (indépendante de  EMBED Equation.3 )
 EMBED Equation.3  : vitesse à  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  : abscisse à  EMBED Equation.3 


Mouvements plans
Mouvement de translation

Le corps 1 est en mouvement de translation par rapport au sol 0.
( Les vecteurs vitesse de 1/0 sont identiques en tout point (appartenant ou non physiquement au solide 1).

On distingue :
- la translation rectiligne (les trajectoires des points sont des droites parallèles).
- la translation quelconque (les trajectoires des points sont quelconques mais toutes identiques). EMBED Word.Picture.8 Mouvement de rotation

Le rotor 2 est en mouvement de rotation par rapport au corps 1.

( Les vecteurs vitesse de 2/1 sont perpendiculaires à la droite joignant leur origine et le centre de rotation I.
Intensité :
V = (.r = 2(N.r
( en rad/s
N en tour/s EMBED Word.Picture.8 Composition de mouvement

Le mouvement de 2/0 est la composition du mouvement de 2/1 et du mouvement de 1/0.

En tout point A on a :
 EMBED Word.Picture.8 
De façon générale on a :
 EMBED Word.Picture.8 

C’est la loi de composition des vitesses.
 EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Word.Picture.8 Centre instantané de rotation (C.I.R.)

Pour tout mouvement d’un solide par rapport à un autre qui n’est pas une translation rectiligne pure, il existe à tout instant un point où la vitesse est nulle, c’est le C.I.R. (Centre instantané de rotation).

Tous les vecteurs vitesse de ce mouvement sont perpendiculaires à la droite joignant leur origine et le C.I.R.
 EMBED Word.Picture.8 Equiprojectivité des vecteurs vitesse

Quel que soit le mouvement entre 2 solide, les projections orthogonales de 2 vecteurs vitesse quelconques de ce mouvement sur l’axe joignant leurs origines sont identiques.

On dit qu’il y a équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse.
 EMBED Word.Picture.8 
Torseur cinématique
Définition
Le torseur cinématique permet de définir complètement à un instant donné le mouvement d’un solide (2) par rapport à un autre (1) :
 EMBED Word.Picture.8 
Changement de point de réduction
Lorsqu’on connaît le torseur cinématique du mouvement d’un solide en un point, on peut le déterminer en n’importe quel point :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Cas particuliers
Expression du torseur au C.I.R.
Au C.I.R. du mouvement de 2/1 qu’on appelle I2/1, la vitesse est nulle :
 EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
En réalité, dans l’espace il y a une infinité de C.I.R. le long d’un axe parallèle à  EMBED Equation.3 . On parle d’axe instantané de rotation.
Torseur d’un mouvement de translation
Dans le cas d’une translation de 2/1, le vecteur rotation est nul :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
L’expression du torseur est la même en n’importe quel point (la vitesse est identique en chaque point du solide).
Energétique
L’énergie
L’énergie est une grandeur physique qui peut donner naissance à une action (déplacer chauffer, éclairer, casser, …)
Elle peut prendre plusieurs formes : thermique, mécanique, électrique, chimique, nucléaire, …
Dans les systèmes que nous étudierons, on appellera « machine » tout organe qui transformera l’énergie d’une forme à une autre.

Exemple de chaîne de transformation d’énergie :
locomotive diesel-électrique
 EMBED Word.Picture.8 

L’énergie se note W (de l’anglais Work = travail), son unité est le joule (J).


La puissance
La puissance exprime la variation d’énergie par rapport au temps :
 EMBED Equation.3 
Elle s’exprime en watt (W). 1 W = 1 J/s
Par convention, si on isole une machine, la puissance qu’elle reçoit est positive, celle qu’elle fournit est négative. Exemple du moteur électrique :

 EMBED Word.Picture.8 


Le principe de la conservation de l’énergie
L’énergie peut se transformer mais ne peut jamais disparaître. Si on isole une machine qui ne stocke pas d’énergie, elle doit donc en fournir autant qu’elle en reçoit. Dans l’exemple précédent du moteur électrique on doit donc avoir :
 EMBED Equation.3 


Rendement d’un système
Le rendement ( (« êta ») d’une machine est le rapport entre la puissance utile fournie par celle-ci et la puissance absorbée :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Aucun système n’étant parfait, il y a toujours de l’énergie perdue, généralement par effet joule (chaleur). On a donc toujours :
 EMBED Equation.3 
Dans une chaîne d’énergie (voir exemple de la locomotive diesel-électrique) le rendement total de la chaîne est le produit des rendement de chacune des machines la constituant :
 EMBED Equation.3 


Travail et puissance d’une action mécanique
Travail et puissance d’une force
Travail d’une force
Le travail d’une force est l’énergie développée par une force pour contribuer à un déplacement dans un repère.
Il s’exprime en joules et il est égal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement de son point d’application.
Exemple : travail d’une force  EMBED Equation.3  pour un déplacement de A vers B :

 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
alors  EMBED Equation.3 
L’intensité et le signe du travail dépendent de l’orientation de la force par rapport au déplacement :
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.3 
force et déplacement dans le même sens EMBED Equation.3 
force et déplacement orthogonaux EMBED Equation.3 
force et déplacement en sens opposés EMBED Equation.3 
Travail moteur EMBED Equation.3 
Travail nul EMBED Equation.3 
Travail résistant
Travail élémentaire et puissance d’une force
Le travail élémentaire d’une force  EMBED Equation.3 effectuant un déplacement élémentaire  EMBED Equation.3  est :  EMBED Equation.3 

La puissance instantanée développée par la force est alors :
 EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3  est la vitesse instantanée du point d’application de la force, d’où :
 EMBED Equation.3 

Puissance d’une A.M. quelconque sur un déplacement quelconque

De façon générale, si un solide S se déplace dans un référentiel R avec un champ de vitesses  EMBED Equation.3  et qu’il est soumis à une A.M. extérieure  EMBED Equation.3 , alors la puissance développée par cette action mécanique sera égale au comoment du torseur d’action mécanique par le torseur cinématique :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Expression du travail et de la puissance dans les cas les plus simples

Action mécaniqueForce  EMBED Equation.3 Couple  EMBED Equation.3 
MouvementDéplacement  EMBED Equation.3  à vitesse  EMBED Equation.3 colinéaire à la force Rotation d’angle  EMBED Equation.3  à vitesse angulaire  EMBED Equation.3 autour du même axe que le couple Travail EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Puissance EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Les différentes formes de l’énergie mécanique
Energie potentielle de pesanteur
Un corps soumis à la pesanteur acquiert de l’énergie potentielle (capacité à fournir de l’énergie) lorsqu’il s’élève en altitude. Il pourra par exemple restituer cette énergie en retombant au sol.
L’expression de l’énergie potentielle de pesanteur est alors :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : masse du solide considéré (en kg)
 EMBED Equation.3  : accélération de la pesanteur ( EMBED Equation.3 =9.81 m.s-2)
 EMBED Equation.3  : altitude du centre de gravité du solide (en m)

remarque : l’altitude  EMBED Equation.3  est choisie arbitrairement. EMBED Word.Picture.8 
Energie potentielle élastique
Un ressort (ou autre corps élastique) qu’on comprime ou qu’on étire acquiert de l’énergie potentielle qu’il pourra libérer en revenant a sa position initiale.
Pour un ressort hélicoïdal, l’énergie potentielle élastique est :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : raideur du ressort en N/m
 EMBED Equation.3  : longueur à vide du ressort en m
 EMBED Equation.3  : longueur du ressort comprimé ou tendu en m
 EMBED Word.Picture.8 
Energie cinétique
Un solide en mouvement possède une énergie appelée énergie cinétique.
( Pour un solide de masse  EMBED Equation.3 en mouvement de translation avec une vitesse  EMBED Equation.3 , elle s’exprime de la façon suivante :
 EMBED Equation.3 
( Pour un solide en mouvement de rotation autour d’un axe  EMBED Equation.3  avec une vitesse angulaire  EMBED Equation.3  et dont le moment d’inertie (voir chapitre sur la dynamique) autour de  EMBED Equation.3  est  EMBED Equation.3 , elle s’exprime de la façon suivante :
 EMBED Equation.3 
( Pour un solide en mouvement quelconque, l’énergie cinétique sera :
 EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : masse du solide
 EMBED Equation.3  : vitesse de son centre de gravité (ou centre d’inertie)
 EMBED Equation.3  : moment d’inertie du solide autour de l’axe parallèle au vecteur rotation passant par le centre de gravité  EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  : vitesse de rotation du solide (rad/s)


Conservation de l’énergie mécanique
Si un système est isolé (pas d’échange d’énergie avec l’extérieur) alors son énergie mécanique totale reste constante :
 EMBED Equation.3 


Théorème de l’énergie cinétique
Dans un repère (R) galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un solide entre les dates t1 et t2 est égale à la somme des travaux des A.M. extérieures appliquées sur (S) entre ces 2 dates :
 EMBED Equation.3 

En appliquant ce théorème sur un intervalle de temps élémentaire on a :

 EMBED Equation.3 

la puissance des A.M. extérieures est égale à la dérivée de l’énergie cinétique.
Dynamique
Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.)
C’est la deuxième loi de Newton (ou théorème du centre d’inertie) :

P.F.D. appliqué à un point matériel
On appelle point matériel un point (sans volume) affecté d’une masse.
On considère un système matériel élémentaire (S) constitué uniquement d’un point matériel M de masse m.
(S) est soumis à des A.M. extérieures modélisées par le torseur  EMBED Equation.3  et il subit une accélération  EMBED Equation.3  par rapport à un repère galiléen R (voir chapitre sur le P.F.S.).
En un point quelconque A, le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) s’exprime alors de la façon suivante :
 EMBED Equation.3 
P.F.D. appliqué à un système matériel
Un système matériel (S) quelconque de masse m peut être considéré comme une somme de points matériels de masses mi avec  EMBED Equation.3 
On appelle G le centre de gravité de (S).
Le P.F.D. appliqué à (S) s’exprime alors de la façon suivante en un point A quelconque :
 EMBED Equation.3 
les accélérations étant comme précédemment par rapport à un référentiel galiléen.

P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de translation (rectiligne ou curviligne)
Réduction en un point A quelconque  EMBED Equation.3 
Réduction en G centre de gravité de S  EMBED Equation.3 

P.F.D. appliqué à un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe de symétrie de (S)
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
définition
 EMBED Word.Picture.8  Soit  EMBED Equation.3  la masse d’un point matériel élémentaire M appartenant à un solide (S)
On considère un axe  EMBED Equation.3 . Soit  EMBED Equation.3  la distance entre M et  EMBED Equation.3 .

On appelle moment d’inertie  EMBED Equation.3 de (S) par rapport à l’axe  EMBED Equation.3  le scalaire suivant :
 EMBED Equation.3  quelques valeurs particulières à connaître
Cylindre de révolution plein et homogène
 EMBED Word.Picture.8 Enveloppe cylindrique homogène de faible épaisseur
 EMBED Word.Picture.8 
P.F.D. exprimé en un point O de l’axe de rotation
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 est l’accélération angulaire de (S) autour de  EMBED Equation.3 .
O est un point quelconque de l’axe d rotation  EMBED Equation.3  qui est aussi un axe de symétrie de (S).
Résistance des matériaux
Hypothèses de la R.D.M.
La résistance des matériaux (R.D.M.) se base sur un certain nombre d’hypothèses simplificatrices :
( Le matériau est homogène (pareil partout) et isotrope (même propriétés dans toutes les direction, ce qui n’est pas le cas des matériaux composites)
( Les pièces étudiées sont assimilables à des poutres c’est à dire :
- grande longueur par rapport aux autres dimensions
- forme droite (ou très faiblement courbée)
- section constante (ou variant très progressivement)
- existence d’un plan de symétrie dans le sens de la longueur.
 EMBED Word.Picture.8 
( Les actions mécaniques sont comprises dans le plan de symétrie de la poutre ou sont symétriques par rapport à celui-ci.
( Les déformations sont faibles donc on suppose que les points d’application des A.M. ne bougent pas après déformation.
 EMBED Word.Picture.8 

Torseur de cohésion d’une poutre
Le torseur de cohésion modélise l’action mécanique d’une partie de la poutre sur une autre partie de la poutre, de part et d’autre d’une coupure fictive.
C’est la somme de toutes les A.M. élémentaires qu’exercent les particules de matière (atomes, molécules) pour assurer la cohésion du matériau.
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

 EMBED Word.Picture.8 

Contraintes locales dans le matériau
L’A.M. de cohésion se traduit en différents points de la section étudiée par des contraintes locales.
Ces contraintes peuvent être de 2 types :
- contraintes normales ( , perpendiculaires à la section.
- contraintes tangentielles ( , parallèles à la section.
 EMBED Word.Picture.8 
( et ( s’expriment en pascal (Pa) ou méga-pascal (Mpa)

1 Pa = 1 N/m2
1 MPa = 1 N/mm2

Caractéristiques mécaniques d’un matériau
Suivant l’intensité des contraintes qu’on lui applique le matériau à des comportements différents :
- déformations élastiques : le matériau se déforme sous la contrainte puis revient en position initiale lorsqu’on supprime les efforts.
- déformations plastiques : le matériau se déforme sous la contrainte et reste déformé lorsqu’on supprime les efforts.
- rupture : sous la contrainte, le matériau se rompt.

Pour caractériser chaque matériau on utilise alors les paramètres suivants :
E : module de Young (coefficient d’élasticité longitudinale)
G : module de Coulomb (coefficient d’élasticité transversale)
(e et (e : contraintes limites de comportement élastique
(r et (r : contraintes de rupture.
Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements) :

MatériauE (MPa)(e (MPa) (r (MPa)G (MPa)(e (MPa)(r (MPa)Acier d’usage courant20000025040080000(e/2(r/2Acier spéciaux20000040075080000(e/2(r/2Fonte10000020030040000(rAluminium (Duralumin)7200024032000Bétoncomp.  15
trac. 1,5Polyamide183049
Traction – Compression
Relation Sollicitation – Contrainte
 EMBED Equation.3 N : effort normal en N
S : surface de la section en m2 La contrainte normale engendrée est identique dans toute la section :
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Word.Picture.8 Loi de comportement élastique

 EMBED Equation.3 E : module de Young en Pa
 EMBED Equation.3  : allongement relatif (sans unité)
Cisaillement
Relation Sollicitation – Contrainte
 EMBED Equation.3 T : effort tranchant en N
S : surface de la section en m2 EMBED Word.Picture.8 
La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section :
Loi de comportement élastique

 EMBED Equation.3 G : module de Coulomb en Pa
 EMBED Equation.3  : glissement transversal relatif (sans unité)
Torsion
Moment quadratique polaire
définition
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport au point O est :
Io = EMBED Equation (2 . DðS
quelques expressions usuelles
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
Relation Sollicitation  Contrainte

 EMBED Equation.3 Mt : moment de torsion en Nm
IG : moment quadratique polaire de la section en m4
( : distance au centre de la section en m EMBED Word.Picture.8 
La contrainte tangentielle engendrée est nulle au centre de la section (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.Loi de comportement élastique

 EMBED Equation.3 G : module de Coulomb en Pa
 EMBED Equation.3  : angle de torsion unitaire en rad/m
IG : moment quadratique polaire de la section en m4 EMBED Word.Picture.8 
Flexion
Moment quadratique par rapport à un axe
définition
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

Le moment quadratique de la surface (S) par rapport à l axe (Ox) est :
IOx = EMBED Equation y2 . DðS
quelques expressions usuelles
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 relation entre moment quadratique polaire et axial
EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT
On a : rð2ð = x2 + y2

donc : IO = EMBED Equation rð2ð.DðS = EMBED Equation x2.DðS + EMBED Equation y2.DðS

d où : IO = IOx + IOy
Relation Sollicitation – Contrainte

 EMBED Equation.3 Mfz : moment de flexion en Nm
IGz : moment quadratique de la section par rapport à l’axe (Gz) en m4
y : distance par rapport à l’axe (Gz) en m EMBED Word.Picture.8 
La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne.Loi de comportement élastique

 EMBED Equation.3 Mfz : moment de flexion en Nm
E : module de Young en Pa
IGz : moment quadratique par rapport à l’axe z de la section en m4
f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m
f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x
Pour obtenir l’expression de la flèche, on intègre 2 fois la formule précédente. Les constantes qui apparaissent lors des intégrations sont déterminées grâce aux conditions aux limites.
Mécanique des fluides
Hypothèses
Tous les fluides que nous étudierons seront considérés comme incompressible, c’est à dire que leur masse volumique reste constante :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  : masse en kg  EMBED Equation.3  : volume en m3
 EMBED Equation.3  : masse volumique en kg/m3 Les liquides comme l’eau ou l’huile pourront être considérés comme des fluides incompressibles. Les gaz comme l’air ne pourront pas être considérés comme des fluides incompressibles.


Statique des fluides (hydrostatique)
Pression d’un fluide
définition
La pression en un point quelconque d’un fluide caractérise la force élémentaire exercée sur une surface élémentaire de fluide :
 EMBED Word.Picture.8  EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3  force élémentaire en N
 EMBED Equation.3  surface élémentaire en m2
 EMBED Equation.3  pression en Pa (ou N/m2)unités usuelles
L’unité légale est le pascal : 1 Pa = 1 N/m2
mais on rencontre souvent :
- le mégapascal : 1 MPa = 1 N/mm2
- le bar : 1 bar ( 105 Pa ( 0,1 MPa ( 0,1 daN/cm2
1 bar équivaut à la pression atmosphérique terrestre au niveau de la mer.
pression relative (ou effective)
C’est la pression couramment indiquée par les appareils de mesure. C’est la différence entre la pression absolue (réelle) et la pression atmosphérique :
 EMBED Equation.3 
La pression d’un pneumatique d’automobile s’exprime par exemple en pression relative.
Pression dans un fluide soumis à l’attraction terrestre
 EMBED Word.Picture.8  Considérons 2 points A et B dans un fluide à des altitudes différentes  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . Les pressions  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  respectivement au point A et B sont alors liées par la relation suivante :
 EMBED Equation.3 
ou  EMBED Equation.3 
avec  EMBED Equation.3  : masse volumique du fluide en kg/m3
 EMBED Equation.3  : accélération de la pesanteur
Théorème de Pascal
Toute variation de pression en un point d’un fluide au repos entraîne la même variation de pression en tout point du fluide.


Ecoulement permanent
Débit d’un fluide dans une conduite
débit volumique

 EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3  : section de la conduite en m2
 EMBED Equation.3  : vitesse (ou célérité) du fluide dans la conduite en m/s
 EMBED Equation.3  : débit volumique en m3/sdébit massique

 EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3  : masse volumique du fluide en kg/m3
 EMBED Equation.3  : débit volumique en m3/s
 EMBED Equation.3  : débit massique en kg/s
Caractéristiques d’un écoulement – nombre de Renolds
Le nombre de Renolds permet de caractériser un écoulement. Il s’exprime de la façon suivante :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  : vitesse (ou célérité) du fluide dans la conduite en m/s
 EMBED Equation.3  : diamètre de la conduite en m
 EMBED Equation.3  : viscosité cinématique du fluide en m2/s
(unité courante : le stocke : 1 St = 10-3 m2/s ) (  EMBED Equation.3  ( écoulement laminaire
(  EMBED Equation.3  ( écoulement turbulent lisse
(  EMBED Equation.3  ( écoulement turbulent rugueux
Pertes de charge
On appelle pertes de charge  EMBED Equation.3 l’énergie perdue par unité de masse d’un fluide. Elle s’exprime en J/kg et son signe est toujours négatif (perte d’énergie).
Pertes de charge régulières
C’est l’énergie perdue par frottement entre les filets de fluide (viscosité) et contre les parois :
 EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3  : coefficient de pertes de charge (sans unité)
 EMBED Equation.3  : longueur de la conduite considérée en m ( écoulement laminaire (  EMBED Equation.3  (Poiseuille)
( écoulement turbulent lisse (  EMBED Equation.3  (Blasius)
( écoulement turbulent rugueux ( EMBED Equation.3  (Blench)
Pertes de charge singulières
C’est l’énergie perdue par les turbulences des filets de fluides dans les variations brusques de section, coudes, etc. :
 EMBED Equation.3 avec  EMBED Equation.3 23GHIJefgh‚ƒœéÜÏÇòªÇÏÃÇÃǚ†ošbWHWjhJQUmHnHuhJQmHnHuhJQ0J(aJ$mHnHu,jÊ.hJQ>*B*UmHnHphÿuhJQmHnHuhJQ0J(mHnHujhJQ0J(UmHnHujÑhJQU!jë:F
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