SUITES et TI-92 - Descartes et les Mathématiques
21 août 2005 ... IV. Efficacité de la technique. V. La Technique mise à l'épreuve. VI. Suite
homographique. VII. Récurrence double - Fibonacci Formule de Binet
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SUITES et TI-92
La calculatrice TI-92 en classe de 1S : suite homographique, suite de Fibonacci, nombre d'or, point fixe.
Sommaire
I. Mode d'emploi II. Avec une suite auxiliaire III. Avec un point fixe Nombre d'or IV. Efficacité de la techniqueV. La Technique mise à l'épreuve VI. Suite homographique VII. Récurrence double - Fibonacci Formule de Binet Nombre d'or, pentagones et Fibonacci
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Document n° 2, réalisé le 21/11/2000 - mis à jour le 21/8/2005
I. MODE DEMPLOI
La calculatrice TI-92 permet dutiliser les suites de deux façons différentes :
en utilisant léditeur de fonctions (y= et lécran de calcul (table après avoir, avec la touche MODE, dans menu GRAPH choisit SUITE (SEQUENCE),
en mode DIRECT dans l'écran de calcul (home
Changement de variable
Pour étudier avec la calculatrice des suites récurrentes, il faut souvent faire un changement de variable.
En effet pendant le cours de mathématiques les suites de noms u, v,... sont définies par leur premier terme u0 et leur terme général un+1 contrairement à la calculatrice qui utilise par défaut u1 et un.
La calculatrice définit 99 suites de noms u1, u2,
jusquà u99, le terme général de la suite u1 étant noté u1(n) et le premier terme est noté ui1, i étant fixé par défaut à 1 dans le menu (windows et on aura souvent à y enregistrer nmin =0 (et éventuellement initialiser à 0 plotStart -plotStrt = 0- : c'est le numéro du premier terme de la représentation graphique).
Pour étudier la suite géométrique de raison 2 définie par :
EMBED Equation.2
effectuer le changement de variable
EMBED Equation.2
a. En mode suite (sequence) : choisir u1 et taper dans léditeur de fonctions (y=
u1(n)=2* u1(n-1)
ui1=1
Étudier la suite avec table.
Vérifier que dans l'application Table Set "(TblSet" la valeur initiale est 0 ou une autre valeur entière à; partir de laquelle vous voulez commencer à calculer les termes de votre suite. Dans tous les cas choisir le pas (tbl égal à 1.
Il est possible de choisir le mode "question" avec independent : ASK pour pouvoir introduire les valeurs de n directement dans la table.
On peut aussi taper u1(5) dans (home pour connaître u5 ou ((u1(n), n, 0, 5) pour la sa somme S5 = u0 + u1 +...+ u5 des 6 premiers termes.
b. En mode direct : taper dans (home la formule :
when(n>0, 2*u(n-1), 1) ( u(n)
où la formule de définition de un est de la forme :
when(n>0, « formule de récurrence un », « premier terme u0 ») STOº% u(n)
II. EXEMPLE AVEC UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE.
Voici un texte dexercice :
On considère la suite arithmético-géométrique un définie par u0 = 0
et, pour tout n>0, par EMBED Equation.2 .
On pose vn = un - 2
1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un
3. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers +(.
4. Calculer la somme (n = v0 + v1 +...+ vn et en déduire Sn = u0 + u1 +...+ un.
a. Utilisation de la TI-92 en mode SUITE (sequence)
Taper dans léditeur de fonctions (y=
u1(n)=u1(n-1)/2+1
ui1=0
La calculatrice ne sait pas calculer deux suites au même niveau. Il faut donc aussi transformer la formule vn = un 2 en vn = un-1 2 donc avec les suites u1 et u2 taper u2(n)=u1(n-1)-2 et penser au décalage du rang de 1 dans la lecture du tableau u2.
Il est possible de faire une recherche intuitive de limites.
b. Utilisation de la TI-92 en mode direct (home
Dans l'écran de calcul taper la formule when(n>0,u(n-1)/2+1,0) STOº% u(n)
et u(n)-2 STOº% v(n), puis pour calculer la somme des premiers termes, écrire
((u1(n),n,0,p) STOº% s(p).
Un petit programme peut permettre d écrire les premiers termes des suites u, v et s.
Dans ce mode les calculs sont exacts.
III. AVEC UN POINT FIXE
On considère la suite un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : EMBED Equation.2
a. En mode suite (sequence)
b. en mode direct (home
Préparer la construction de «lescargot» en choisissant à partir de lécran (y= dans le menu F7 Axes le mode toile daraignée WEB.
La courbe et la droite déquation y = x apparaissent dans lécran(Graph et puis afficher lescargot avec le mode F3 TRACE.
La limite l de cette suite est égale à 2. Cest la solution de léquation EMBED Equation.3 ; solution positive de léquation x2 = x + 2.
Nombre dor
Étudier la suite un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : EMBED Equation.2 .
La limite l de cette suite est le nombre dor ( = EMBED Equation.3 . Cest la solution de léquation EMBED Equation.3 ; solution positive de léquation x2 = x + 1, soit x2 - x - 1 = 0.
Le produit des solutions de cette équation est -1 donc la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : ( = - EMBED Equation.3 . En divisant l'équation par x non nul on obtient x - 1 - EMBED Equation.3 = 0 soit x = 1 + EMBED Equation.3 , d'où ( = EMBED Equation.3 . ( et EMBED Equation.3 ont donc la même partie décimale 0,61803398875....
On pourra montrer que la suite vn définie par v0 = 0 et pour tout n positif par : EMBED Equation.2 a pour limite (.
Remarque : au XIXe siècle on utilise la lettre grecque F (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.
C'est suffisant pour inventer le mythe de la divine proportion pour le Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or. Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !
Mythe de la pyramide de Khéops
À la fin de sa construction, la hauteur h de la pyramide de Khéops était OS = 146 m. Le côté AB = 2 c mesure 232 m. À 1% près, la hauteur de la pyramide est égale à la moitié du côté multiplié par .
On a = = d'où = ¦. Les trois côtés du triangle SOH forment une suite géométrique de raison . SOH est dit triangle égyptien.
Les faces latérales de la pyramide de Khéops sont formées de deux moitiés de triangle d'or. La moitié du côté de la base multipliée par le nombre d'or est donc égale à la hauteur des faces de la pyramide. La hauteur de la pyramide est alors égale à la moitié de du côté multiplié par EMBED Equation.3 . Ce qui induit pour ( la valeur approchée EMBED Equation.3 .
Très belle coïncidence, mais c'est impossible. Les anciens Égyptiens ne connaissaient pas alors le nombre d'or et les outils mathématiques nécessaires pour le calculer n'apparaîtront à Babylone que 7 siècles plus tard.
IV. EFFICACITE DE LA TECHNIQUE (daprès Terracher)
On considère la suite un définie par u0 = 1,
et pour tout n positif par : EMBED Equation.2 .
Calculer les premiers termes et pronostiquer la formule explicite de un en fonction de n :
EMBED Equation.2 .
La démonstration nest quune affaire de récurrence à faire éventuellement avec laide de la machine.
Utiliser pour le calcul une variable un différente du nom de la suite u.
Remarquer le calcul de un+1 : la machine fait la simplification par EMBED Equation.2 uniquement lorsque la condition n>0 permet den assurer lexistence.
V. LA TECHNIQUE MISE A lEPREUVE
Exemple 1 : e base des logarithmes népériens (terminales S)
Voici un exemple classique où la limite suggérée par la machine est différente de celle obtenue par le calcul. La suite EMBED Equation.2 a pour limite e ( 2,1828
Le calcul de up est fait pour p = 10n. Il devient faux à partir p = 1014.
Exemple 2 (daprès Terracher)
On considère la suite de terme général un définie par EMBED Equation.2
1. Conjoncture : Avec la calculatrice calculer lorsque n = 10p avec p = 1, 2,
.12,
puis calculer lorsque n = 10p avec p = 13, 14,
,17
Quelles conjonctures contradictoires peut-on faire ?
2. Calcul mathématique :
Montrer que EMBED Equation.2 (n>0).
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée puis diviser numérateur et dénominateur par n.
En déduire la limite exacte de un.
Remarque ces calculs sont trop complexes pour la TI-92.
Si malgré tout on veut vérifier avec la machine, calculer EMBED Equation.2 pour n>0, multiplier le résultat par le dénominateur EMBED Equation.2 et enfin taper la condition (n>0 pour sassurer la validité du domaine de définition et obtenir 0 qui prouve légalité des deux suites.
3. Explications : lorsque n dépasse 10p où p est le nombre de chiffres calculés par la machine (FLOAT 12 sur la TI) la racine EMBED Equation.2 est approximée par n et le résultat est 0.
Mais pourquoi trouve-t-on u13 = 1 ?
VI. SUITE HOMOGRAPHIQUE
Utilisation de la calculatrice pour résoudre un exercice de terminale S :
On considère la suite un définie par u0 = 0 et, pour tout n (n>0), par EMBED Equation.2 .
1. Calculer u1, u2, u3.
2. On pose EMBED Equation.2 . Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
3. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
4. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers + (.
Taper la définition de un en mode direct :
when(n>0,(2u(n-1)+1)/(u((n-1+2),0) STOº% u(n).
Calculer un et vn. En s'inspirant des calculs des premiers termes, trouver la raison 3 et le terme général EMBED Equation.2 de la suite géométrique.
Résoudre l'équation EMBED Equation.2 , en fonction de vn pour trouver la fonction réciproque un en fonction de vn (utiliser des variables un et vn et non les suites u(n) et v(n)).
Puis remplacer vn par sa valeur pour trouver EMBED Equation.2 et déduire que la limite est 1.
La TI-92 plus donne ce résultat en utilisant la tangente hyperbolique. Pourquoi pas !
Le calcul de un est très rapidement complexe, car la TI-92 calcul deux fois un-1, soit une minute pour les 1024 calculs de u10.
On aura intérêt à transformer la formule de récurrence en éléments simples grâce à la fonction développe (expand) et modifier la définition de un.
Les capacités de la mémoire ne permettent pas de calculer par récurrence au-delà de u23.( u31 sur la TI-92 plus) Au delà utiliser le calcul direct de un en fonction de n.
Lorsque l'on veut calculer de grandes valeurs on pourra programmer la fonction u dans l'éditeur de programmes :
Exemple 2
On considère la suite (un) définie par u0 = 3 et, pour tout n > 0, par . 1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5. 2) Dans un repère orthonormé tracer les représentations graphiques des fonctions y = x et f(x) = , définies sur [0, 3] (unités 5cm) Visualiser graphiquement les termes u1, u2, u3, u4 et u5 de la suite (un). Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de cette suite ? 3) On pose vn = . Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q. 4) Exprimer vn en fonction de n et en déduire un. 5) Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers +¥ð.
Indications de correction
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = et de raison q = .
unvn031-23-45-un = =
Pour n>0 les numérateurs et dénominateurs de (un) sont deux suites (an) et (bn) telle que bn+1 = an + bn
Si n est pair an = bn + 1 ; sinon an = bn - 1.
VII. RECURRENCE DOUBLE : SUITE DE FIBONACCI (terminale S, d'après Gérard Kuntz, Strasbourg)
Une histoire de lapins qui donnent naissance à un animal qui à la génération suivante donne naissance à un nouvel animal et ainsi de suite...
Pour programmer par exemple la suite de Fibonacci EMBED Equation.2 pour n ( 0,
faire le changement de variable un = un-2 + un-1 pour n ( 2.
a. En mode suite (sequence) (y=
Sur la première ligne taper la formule de récurrence : u1(n) = u1(n-2) + u1(n-l)
et sur la deuxième indiquer la liste inversée des deux valeurs initiales: uil = {1 ,0} (attention à l'ordre inversé des deux termes).
b. En mode direct (home
Il faut utiliser deux formes when emboîtées:
when(n>1, «formule de récurrence un »,when(n=0, «premier terme u0», «deuxième terme u1 »)) ( u(n).
Taper dans l'écran de calcul : when(n>1, u(n-2) + u(n-l), when( n=0, 0, 1)) STOº% u(n)
Calculer les 10 premiers termes avec la TI-92
La limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite est égale au nombre d'or (.
Montrer qu'il existe deux suites géométriques de raison q qui soient de Fibonacci. q est alors solution de l'équation x2 = x + 1. Trouver avec la machine que ces solutions sont le nombre d'or ( = ± = EMBED Equation.3 et l'opposé de son inverse EMBED Equation.2 .
Si a et b sont deux nombres réels montrer que la suite de terme général : un = a (n + b (n est une suite de Fibonacci.
Réciproquement montrer que le terme général d'une suite de Fibonacci peut s'écrire
un = a (n + b (n avec les calculs de a = EMBED Equation.2 et b = EMBED Equation.2 faits sans difficulté sur la TI-92.
Formule de Binet
Vérifier que si u0 =0 et u1= 1 alors un = EMBED Equation.2 .
Voici les calculs pour cette suite des "lapins".
Remarquer que la TI-92 sait rendre rationnel les dénominateurs de a (n et b (n mais pas leur différence.
Par contre le calcul de EMBED Equation.2 ne pose pas de problèmes et on obtient entier exact jusqu'à n = 128 et une valeur approchée au-delà ; par exemple : u4000 = 6,457 10835 (seul l'ordre de grandeur est fiable).
Des divergences troublantes
Montrer que les seules suites de Fibonacci convergentes sont de la forme b (n.
Pour b = 1 nous allons donc étudier avec la machine la suite de Fibonacci un de premiers termes u0 =1 et u1 = ( et la suite géométrique vn = (n = EMBED Equation.2 .
On va vérifier que comme les ordinateurs et les autres calculatrices la TI-92 fait des erreurs en mode approché, mais par contre elle peut évaluer exactement cette suite de Fibonacci en mode direct.
Mode approché
Le calcul est assez rapide dans l'écran (table, mais on s'aperçoit que le calcul de la suite de Fibonacci ul accumule les erreurs à partir du rang 34 les résultats sont faux et ils sont absurdes pour n plus grand que 36 (erreur de signe).
Mode exact
Il est possible de travailler dans lécran de calculs en mode exact en programmant les deux suites mais le calcul de u(n) demande trop de temps dès que n dépasse 10 puis sature la mémoire.
Le calcul exact de u(33) est le dernier évaluable par la machine; Les calculs suivants dépassent la précision de 12 chiffres pour les calculs de réels et le résultat est 0 (attention calculer u(34) puis approx du résultat le calcul direct de approx(u(34)) est un calcul approché qui génère les mêmes erreurs que dans le mode table).
Il est possible avec le programme fibo(n) de calculer rapidement un et vn d'obtenir les calculs approchés suivants :
Ce programme sait faire le calcul exact de un, son calcul approché est une autre affaire.
Il sait aussi faire le calcul exact et approché de vn = (n = EMBED Equation.2 .
(ce calcul est-il fiable ?).
Nombre d'or et suite de Fibonacci
On a démontré ci-dessus que ( = EMBED Equation.3 est la solution positive de léquation du second degré x2 = x + 1, soit (2 = ( + 1.
Calculons les premières puissances de ( :
(3 = (2 × ( = (( + 1) × ( = (2 + ( = (( + 1) + ( = 2 ( + 1.
De même (4 = (3 × ( = (2( + 1) × ( = 2(2 + ( = 2(( + 1) + ( = 3 ( + 2
et (5 = (4 × ( = (3( + 2) × ( = 3(2 + 2( = 3(( + 1) + 2( = 5 ( + 3 et ainsi de suite.
On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : (n = an( + an-1 .
avec pour n>0 an+1 = an + an-1 et a0 = 0 ; a1 = 1. an est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Suites de pentagones et nombre d'or
Tous les pentagones réguliers sont semblables.
Le pentagone A1A2B2C2C1 est l'image du pentagone AA1B1C1C par l'homothétie de centre O et de rapport ¦ (nombre d'or).
Les longueurs AA1, A1A2, A2A3, A3A4 sont égales aux puissances du nombre ¦.
AA1 = 1, A1A2 = ¦, A2A3 = ¦2 = ¦ + 1, A3A4 = ¦3 = 2 ¦ + 1, ...
AA1 = 1, A1A2 = ¦-1, A2A3 = ¦-2, A3A4 = ¦-3, ...
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