Td corrigé est appelé objet logique ou variable binaire pdf

est appelé objet logique ou variable binaire

Ces propriétés sont démontrées en théorie des ensembles et en algèbre de Boole (George Boole (1815-1864) : mathématicien britannique, fut l'un des ...




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bouton poussoir s2, on écrit :

H = s1 + s2

H = s1 + s2 Schéma électrique correspondant :
est l'équation logique de la variable de sortie H
en fonction des variables d'entrées s1 et s2
H = f(s1,s2)


Comportement combinatoire ou séquentiel d'un objet logique
Exemple 1: reprendre l'exemple ci-dessus
Description du fonctionnement : le voyant H ne s'allumera que si l'on appuie sur le bouton s1 ou sur le bouton s2.
Chronogramme :








L'état de H ne dépend que de l'état des variables d'entrée s1 et s2 ( H = f(s1,s2)
Dans cet exemple, le voyant H est un objet à comportement combinatoire : le même état de s1 ou de s2 entraîne toujours le même état de H.

Exemple 2 : Chronogramme :

L'état de H dépend de l'état de la variable d'entrée s1 et de l'état précédent du système.
Dans ce deuxième exemple, le voyant H est un objet à comportement séquentiel : le même état de s1 n' entraîne pas toujours le même état de H.

Résumé :

Traitement combinatoire : L'état de la sortie est directement et seulement fonction de l'état de la ou des entrées.


Traitement séquentiel :
L'état de la sortie est fonction :
de l'état des entrées (e1,e2,…)
et de l'état antérieur du système (X)

Les opérateurs logiques combinatoires

Les opérateurs logiques de base

L'opérateur OUI

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OUI est égal à l'état de la variable d'entrée.



L'opérateur NON

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique NON est le complément logique de l'état de la variable d'entrée.


L'opérateur OU

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique OU est à l'état logique 1 si et seulement si au moins une de ses variables d'entrée est à l'état logique 1.


L'opérateur ET

Définition : L'état de la variable de sortie S de l'opérateur logique ET est à l'état logique 1 si et seulement si toutes ses variables d'entrée est à l'état logique 1.


Le théorème de DE MORGAN

Le complément d'une somme est égal au produit de chaque terme complémenté

Le complément d'un produit est égal à la somme de chaque terme complémenté





Les opérateurs logiques dérivés

L'opérateur OU EXCLUSIF

L'opérateur INHIBITION

L'opérateur NON OU ( NOR)


L'opérateur NON ET ( NAND)



Les propriétés des opérateurs logiques de base

Ces propriétés sont démontrées en théorie des ensembles et en algèbre de Boole (George Boole (1815-1864) : mathématicien britannique, fut l'un des fondateurs de la logique mathématique moderne).

L' associativité

a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b +c)

La commutativité

a . b = b . a
a +b = b + a

La distributivité

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Propriétés particulières























Théorème de De Morgan

Le complément d'une somme est égal au produit de chaque terme complémenté

Le complément d'un produit est égal à la somme de chaque terme complémenté

Equation logique d'un circuit

Rechercher les équations logiques des circuits suivants :




H1 = a b + a b


H2 = ( a + b ) (c + d )


H3 = ( a + c ) b + c . d


KA = s0 ( s1 + ka )




KM = s1 + ( s0 . km )
Schéma logique d'un circuit

Etablissez les schémas relatifs aux équations suivantes :





H1 = a + b c




H2 = (a + b +c ). d



KA = s1 . s2 . ( s3 + ka )



KM = s0 . ( s1 . s2 + km )
Simplification des équations logiques
Simplifications algébriques

Exemple 1 : salle de cinéma

Les 3 haut-parleurs d’une salle de cinéma (a, b, c) sont branchés sur un amplificateur à deux sorties :
- une sortie d’impédance 4 ( (sortie S4)
- une sortie d’impédance 8 ( (sortie S8)

Un seul haut-parleur à la fois peut être relié à la sortie S8.
Deux haut-parleurs à la fois peuvent être reliés à la sortie S4.
Le fonctionnement simultané des trois haut-parleurs est interdit.

Compléter la table de vérité, en déduire les équations de S4 et S8 et les simplifier.

abcS4S80000000101010010111010001101101101011100
Exemple 2 : serrure de coffre

Quatre responsables ( A, B, C et D) d'une société peuvent avoir accès a un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente (a, b, c et d).

Mode de fonctionnement de l'ouverture du coffre:

le responsable A ne peut ouvrir le coffre qu'en présence du responsable B ou du responsable C.
les responsables B, C et D ne peuvent ouvrir le coffre qu'en présence d'au moins deux des autres responsables.

Rechercher l'équation logique de la serrure ( sortie S) en fonction des clés (entrées a, b, c et d) et la simplifier.

S =/abcd + a/bc/d + a/bcd + ab/c/d + ab/cd + abc/d + abcd
a/bc ab/c abc
S = /abcd + a/bc + ab/c + abc /abcd + ac + ab/c c(a + /abd) + ab/c c(a + bd) + ab/c ac + bcd + ab/c a(c + b/c) + bcd
simplifications des équations logiques par la méthode de KARNAUGH

Principe : voir la fiche référence "simplification des équations logiques"
Exercices :
Simplifier les équations logiques suivantes :
algébriquement
avec un tableau de Karnaugh


S = /a.b.c + a.b.c
Simplification algébrique : S = ( /a + a) bc

Simplification avec tableau de karnaught : ab



c



S = /a./b +/a./b.c + /a.b.c
Simplification algébrique : S = /a /b + /a c (b + /b) S = /a /b + /a c

Simplification avec tableau de karnaught : ab



c



S = /a.b./c + /a.b + a.b.c + a.b./c + a./b.c
Simplification algébrique :
S = b (/a /c + /a + ac + a /c) + a /b c
= b (/a /c + /a + a ) + a /b c
= b ( /a /c + /a + a ) + a /b c
= b ( /a (1+/c) + a ) + a /b c
= b ( /a + a ) + a /b c
= b + /bac
S = b + ac



Simplification avec tableau de karnaught : ab




 c
S = /a./b./c./d + /a./b.c./d + a./b./c./d + a./b.c./d

Simplification algébrique :
S = /b /d ( /a /c + /a c + a /c + ac)
S = /b /d ( /a ( /c + c) + a ( /c + c))
S = /b /d ( /a + a )
S = /b /d

Simplification avec tableau de karnaught : ab





cd








S = /c. /d + a. /b.c + a.b.c + /a .b.c + /a. /b.c

Simplification algébrique :
S = /c /d + c( a /b + ab + /a b + /a /b )
S = /c /d + c (b ( /a + a) + /b (a + /a))
S = /c /d + c (b + /b)
S = /c /d + c
S = c + /d

Simplification avec tableau de karnaught : ab





cd






 NOMFICHIER commande des systèmes.doc  DATE \@ "jj/MM/aa" 07/07/99 Page  PAGE 4 sur  NBPAGES 1

AII1ère STI GMLycée Jean Perrin - REZERéférence B.O. :
3.2, 4.1 et 4.2COMMANDE DES SYSTEMES
Traitement combinatoire
Traitement séquentiel
COURS

 NOMFICHIER commande des systèmes.doc  DATE \@ "jj/MM/aa" 07/07/99 Page  PAGE 1 sur  NBPAGES 1






 temps


e1
e2 S=f(e1,e2,e3)
e3

e1
e2 S=f(e1,e2,e3,X)
e3
X

x

X : bobine d'un relais
x : contact de ce relais



a . a = a

H = a . a



H = a . 1

a . 1 = a



H = a . 0

a . 0 = 0



H = a . a

a . a = 0

a + a = a

H = a + a



a + 1 = 1

H = a + 1





a + a = 1

H = a + a

a + 0 = a

H = a + 0




a + b = a . b





a . b = a + b




a+ a b = a + b

H = a + a b

















abcdS00000000100010000110010000101001100011111000010010101011011111001110111110111111


S4 = /a.b.c + a. /b.c + a.b. /c


S8 = /a. /b.c + /a.b. /c + a. /b. /c

S = a(c + b) + bcd

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001111
010000
111111
101111


00 01 11 10

001001
010000
110000
10
100
1


00 01 11 10
00110 10111


00 01 11 10
01000 11100


00 01 11 10
00
000 10110


a . b =



a + b =




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