T - Exercices corriges
T.D. Cinématique 9. Exercice n°1 : Système bielle manivelle. Dans un exercice
précédent, on avait déterminé graphiquement la vitesse de translation du piston
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aîne géométrique, trouver deux relations scalaires liant x, qð et að ( et les paramètres géométriques constants du mécanisme L et R ).
3 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations scalaires liant x, qð, að et leurs dérivées par rapport au temps ( et L, R ).
4 - Montrer que les systèmes d équations trouvés aux questions 2 et 3 sont équivalents.
5 - Déterminer la loi entrée/sortie : x = f(qð) ( paramètrée par R et L .
Exercice n°2 : Pompe.
Le dessin ci-dessous représente la vue en coupe à léchelle 1 dune pompe.
Le schéma cinématique de cette pompe est également représenté ci-contre.
On retrouve sur les deux représentations les mêmes solides numérotés, les mêmes points caractéristiques ainsi que les mêmes systèmes daxes.
Cette pompe est constituée de différents éléments :
- Un corps (0) auquel on attache un repère de référence R(O, EQ \O(x;®), EQ \O(y;®), EQ \O(z;®)). Sur le dessin il est représenté par plusieurs domaines hachurés (de la même manière) ainsi que par des domaines non hachurés séparant les domaines hachurés et signifiant que le plan de coupe passe par des parties creuses. Comme partie creuse, on retrouve une conduite dadmission du fluide à pomper CA et une conduite de refoulement du fluide pompé CR. Solidaire totalement de ce corps on aperçoit un couvercle (0) représenté également par des domaines hachurés (dun autre type de hachures) et des domaines non hachurés. Ce couvercle (0) est maintenu sur le corps (0) par deux écrous (0).
- Un ensemble déléments oscillants constitué, dun cylindre (3) daxe (B, EQ \O(z;®)) en liaison pivot de même axe avec le corps (0), et dune chemise de piston (3) ( pièce tubulaire daxe (B, EQ \O(x2;®)) encastrée serrée dans le cylindre (3) ).
- Une manivelle (1) en liaison pivot daxe (O, EQ \O(z;®)) avec le corps (0).
- Un piston (2) pièce globalement de révolution daxe EQ \O(AB;®) en liaison pivot daxe (A, EQ \O(z;®)) avec la manivelle (1) et en liaison pivot glissant daxe EQ \O(AB;®) avec la chemise de piston (3 ). On attache à ce piston un repère R2 (A, EQ \O(x2;®), EQ \O(y2;®), EQ \O(z;®)). On notera que l angle bð = ( EQ \O(x;®) , EQ \O(x2;®) ) est négatif sur la figure. Bien que situé dans le plan de coupe, on ne coupe pas ( donc on ne hachure pas ) le piston, car cest une pièce pleine, donc il ny a pas de détails à lintérieur quune coupe permettrait de voir.
On remarquera sur le dessin, le petit trou TA dans la pièce (3) et celui dans la pièce (0) permettant la communication entre la conduite dadmission et la chambre du piston. On remarquera que les trous équivalents TR pratiqués au niveau de la conduite de refoulement de sont pas en communication.
On pose OA = R , AB = x et OB= L
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1 - Sachant que la manivelle (1) est entraînée à 1500 tr/mn, calculer le débit moyen Qm de la pompe.
2 - Donner le graphe des liaisons pour ce mécanisme.
3 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux relations liant les paramètres x, að et bð.
4 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux relations liant x, að, ðbð et leurs dérivées par rapport au temps.
5 - Montrer que les systèmes d équations trouvés aux questions 3 et 4 sont équivalents.
6 - Déterminer la loi EQ \O(x;.) = f(að, EQ \O(a;.)). En déduire le tracé du débit instantané de la pompe en fonction de að.
Exercice n°3 : Liaisons équivalentes
1 - Quelle est la liaison équivalente à une liaison rotule de centre O et une liaison pivot glissant d axe passant par O, en série ?
2 - Quelle est la liaison équivalente à deux liaisons linéaires rectilignes de lignes de contact parallèles, en parallèle ? (Cas dun cylindre situé entre deux plans parallèles appartenant à la même pièce)
Exercice n°4 : Joint de Cardan.
Un joint de Cardan, schématisé ci-dessous, permet de transmettre le mouvement de rotation dun arbre moteur lié à (1) vers un arbre récepteur lié à (3).
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Larbre dentrée (1) est en liaison pivot daxe (O, EQ \O(y0;®)) avec le bâti (0).
Larbre de sortie (3) est en liaison pivot daxe (O, EQ \O(y0;®)) avec le bâti (0).
Le mouvement de rotation est transmis dun arbre à lautre par lintermédiaire du croisillon lié à (1) par une liaison pivot daxe (0, EQ \O(z1;®)) et lié à 3 par une liaison pivot daxe (0, EQ \O(x3;®)).
Larbre dentrée (1) et larbre de sortie (3) sont concourants en O et font un angle de brisure dð = ( EQ \O(y0;®) , EQ \O(y0;®) ) entre eux.
Les deux repères R0 (O, EQ \O(x0;®), EQ \O(y0;®), EQ \O(z0;®)) et R0 (O, EQ \O(x0;®) , EQ \O(y0;®) , EQ \O(z0;®)) sont fixes, ils sont liés au bâti, ils sont tournés de l angle dð autour de EQ \O(z0;®) lun par rapport à lautre.
Le repère R1(O, EQ \O(x;®)1, EQ \O(y;®)0, EQ \O(z;®)1) est lié à larbre dentrée (1) et le repère R3(O, EQ \O(x;®)3, EQ \O(y;®)0, EQ \O(z;®)3) est lié à larbre de sortie (3).
1 - Compte tenu de la forme du croisillon 2, les vecteurs EQ \O(x3;®) et EQ \O(z1;®) sont perpendiculaires. Ecrire les vecteurs EQ \O(x3;®) et EQ \O(z1;®)en fonction des paramètres du système et exprimer le fait quils sont perpendiculaires pour trouver une relation entre qð10 , qð30 et dð.
2 - En déduire la relation wð30 = f(qð10, dð).wð10 . On pose EQ \O(W;®)1/0 = wð10 EQ \O(y0;®) = EQ \O(q;.)10 EQ \O(y0;®) et EQ \O(W;®)3/0 = wð30 EQ \O(y0;®) = EQ \O(q;.)30 EQ \O(y0;®) .
3 - Ce joint de transmission entre deux arbres est-il homocinétique ? (vitesses de rotation des arbres dentrée et de sortie proportionnelles)
Exercice n°5 : Liaison équivalente à un roulement à billes à contact oblique
Un roulement à billes à contact oblique daxe EQ \O(x;®) comporte une bague intérieure (0), une bague extérieure (E), et des billes numérotées 1,2 3,
Chaque bille (n) est en contact ponctuel en An avec (0) et en Bn avec (E), la normale au contact étant EQ \O(un;®).
1 - Tracer le graphe des liaisons de ce roulement dans le cas où il possèderait 4 billes.
2 Pour la bille (1) déterminer la liaison équivalente aux deux liaisons ponctuelles en A1 et B1.
3 Pour 4 billes régulièrement réparties, montrer que la liaison équivalente au roulement (liaison entre (0) et (E)) est une liaison rotule de centre O.
Exercice n°6 : Transformation de mouvement par Croix de Malte (capsuleuse de bocaux)
Un mécanisme de transformation par Croix de Malte a pour but de transformer un mouvement continu de rotation en un mouvement intermittent de rotation. Les figures 1 et 2 représentent un tel mécanisme. Il est constitué :
- dun maneton 1 en liaison pivot daxe (A, EQ \O(z;®)) avec le bâti 0
- dun galet cylindrique 2, de rayon R2, en liaison pivot daxe (B, EQ \O(z;®)) avec le maneton 1
- dune roue 3 (Croix de Malte) en liaison pivot daxe (O, EQ \O(z;®)) avec le bâti 0.
Le maneton 1 est animé dun mouvement continu de rotation, repéré par langle qð ð ð(ð EQ \O(q;.) > 0 ; EQ \O(q;.) ð=ð cte)ð ð.
La roue 3 possède un nombre Z de rainures dans lesquelles peut s engager le galet 2, faisant alors pivoter la roue 3 pendant un instant. Cette rotation est repérée par l angle yð ( EQ \O(y;.) £ð 0).
Ensuite, le galet 2 se désengage de la rainure de la roue 3, celle ci reste alors immobile tant que le galet ne sest pas engagé dans la rainure suivante.
Le contact galet 2 / roue 3 est repéré par le point C.
Sur la figure 1, le maneton 1 tournant dans le sens trigonométrique, le galet 2 sengage dans la rainure. Langle yð a une valeur particulière yð0 et les points A, B et C sont alignés.
D une manière générale, l engagement du galet 2 dans la roue 3, ainsi que son dégagement se font normalement à la rainure. L angle entre deux rainures successives est donc 2yð0.
La figure 2 représente le mécanisme dans une configuration quelconque.
Lentraxe OA est noté E. La distance allant de laxe du demi cylindre de fond de rainure, à laxe de rotation de la roue 3, est noté I.
I - Etude géométrique.
1 - Déterminer, à partir de la figure 1, les relations donnant yð0 fonction de Z et E fonction de R1 = AB et de Z.
2 - En déduire la relation donnant la plus grande valeur admissible pour I, c est à dire IMaxi , en fonction de R1 et Z.
3 - Déterminer en fonction de yð0 , l angle Dðqð pendant lequel le maneton 1 entraîne la roue 3.
4 - En déduire, en fonction de Z, la fraction tm dun tour complet du maneton 1 pendant laquelle il entraîne la roue 3 et la fraction tr dun tour complet du maneton 1 pendant laquelle la roue 3 est au repos.
5 - Application numérique pour Z = 2. Conclure quant au nombre minimal de rainures Zmini nécessaire pour quil y ait entraînement de la roue 3 par le maneton 1.
6 - Ecrire, à partir de la figure 2, la fermeture géométrique de la chaîne simple fermée 0, 1, 2, 3.
7 - En déduire la loi entrée sortie yð fonction de qð et lð avec lð = EQ \F(R1;E) .
II - Etude cinématique.
8 - A partir de la loi entrée sortie démontrée à la question 7, et en supposant que le maneton 1 tourne à vitesse angulaire constante par rapport au bâti 0 ( EQ \O(q;.) = wð = cste), déterminer, pour la roue 3, la vitesse angulaire EQ \O(y;.) fonction de lð, qð et wð.
9 - En déduire l accélération angulaire EQ \O(y;..) fonction de lð, qð et wð.
10 - Calculer EQ \O(y;.) et EQ \O(y;..) lorsque le galet 2 s engage dans la roue 3, puis lorsqu il se désengage.
11 - Donner l allure de la courbe EQ \O(y;.) (qð) dans le cas de la capsuleuse de bocaux, c est à dire pour Z = 4.
O
EQ \O(y;®)
EQ \O(x;®)
B
A
0
0
Bielle 2
Piston 3
Vilebrequin 1
EQ \O(w;®)
EQ \O(t;®)
EQ \O(u;®)
qð
að
EQ \O(v;®)
O
EQ \O(y;®)
EQ \O(x;®)
B
A
0
2
EQ \O(x2;®)
EQ \O(x1;®)
3
1
að
bð
0
0
1
2
3
EQ \O(y0;®) = EQ \O(y1;®)
EQ \O(y0;®) = EQ \O(y3;®)
EQ \O(z0;®) = EQ \O(z0;®)
EQ \O(x0;®)
EQ \O(x0;®)
EQ \O(z0;®) = EQ \O(z0;®)
B1
A1
að
EQ \O(y;®)
EQ \O(u1;®)
EQ \O(x;®)
1
E
0
O
Roue 3
Galet 2
Maneton 1
EQ \O(y;®)
O
B
A
EQ \O(x;®)
EQ \O(x3;®)= EQ \O(x1;®)
EQ \O(x1;®)
EQ \O(y1;®)
R3
I
R1
C
Bâti 0
qð
yð0ð
Figure 1
EQ \O(z;®)
Roue 3
Galet 2
Maneton 1
EQ \O(y;®)
O
B
A
EQ \O(x;®)
EQ \O(x3;®)
EQ \O(x1;®)
EQ \O(y1;®)
R3
I
R1
C
Bâti 0
qð
yð
EQ \O(y3;®)
Figure 2
EQ \O(z;®)
