1 SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de ...
d) X désigne la matrice 3 x 3 d'une application linéaire, et on connaît les résultats
... a) Le déterminant d'une matrice carrée M est un nombre, fonction des ...
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SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
I. Suites de matrices colonnes
1) Exemples :
a) La suite EMBED Equation.DSMT4 définie pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 définies pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b) Soit deux suites numériques couplées EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 définies pour tout entier naturel n par : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
On pose pour tout entier naturel n : EMBED Equation.DSMT4
On pose encore : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : EMBED Equation.DSMT4 .
En effet :
EMBED Equation.DSMT4
c) Soit une suite numérique EMBED Equation.DSMT4 définie par une relation de récurrence d'ordre 2 :
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
On pose pour tout entier naturel n : EMBED Equation.DSMT4
On pose encore : EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de
récurrence : EMBED Equation.DSMT4 .
En effet, EMBED Equation.DSMT4
2) Terme général d'une suite de matrices
Propriété : Soit une suite de matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a EMBED Equation.DSMT4 où A est une matrice carrée de taille p.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 .
Démonstration :
On démontre cette propriété par récurrence.
Initialisation : EMBED Equation.DSMT4 car EMBED Equation.DSMT4
Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : EMBED Equation.DSMT4
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Conclusion :
La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : EMBED Equation.DSMT4 .
Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/62U34Kl4o1I" https://youtu.be/62U34Kl4o1I
Soit deux suites numériques couplées EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 définies pour tout entier naturel n par : EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4
Calculer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
On pose pour tout entier naturel n : EMBED Equation.DSMT4
On pose encore : EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors EMBED Equation.DSMT4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de
récurrence : EMBED Equation.DSMT4 .
On alors EMBED Equation.DSMT4 et donc en particulier EMBED Equation.DSMT4 .
Soit en s'aidant de la calculatrice :
EMBED Equation.DSMT4
On en déduit que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
II. Convergence de suites de matrices colonnes
Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de EMBED Equation.DSMT4 sont convergentes.
La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente.
Exemples :
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s" https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s
a) La suite EMBED Equation.DSMT4 définie pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 est divergente car EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
b) La suite EMBED Equation.DSMT4 définie pour tout entier naturel n non nul par EMBED Equation.DSMT4 est convergente et sa limite est la matrice colonne EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété : EMBED Equation.DSMT4 est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence EMBED Equation.DSMT4 où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes.
Si la suite EMBED Equation.DSMT4 est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vérifiant l'égalité EMBED Equation.DSMT4 .
Démonstration :
EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Par unicité des limites, on a EMBED Equation.DSMT4 .
Méthode : Recherche d'une suite constante vérifiant une relation de récurrence
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/C-2-1yf-O4A" https://youtu.be/C-2-1yf-O4A
Soit une suite EMBED Equation.DSMT4 de matrices colonnes définies pour tout entier naturel n par EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Rechercher, si elle existe, la suite EMBED Equation.DSMT4 constante.
Résolvons l'équation matricielle EMBED Equation.DSMT4 .
Soit EMBED Equation.DSMT4 soit encore EMBED Equation.DSMT4
Et donc EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
A l'aide la calculatrice, on obtient : EMBED Equation.DSMT4 .
Et donc : EMBED Equation.DSMT4 .
La suite EMBED Equation.DSMT4 constante cherchée est donc EMBED Equation.DSMT4 .
III. Graphes et marches aléatoires
Graphe
Dans une équipe de football, on étudie les passes que se font trois attaquants A, B et C.
Les probabilités qu'un attaquant passe le ballon à un autre sont représentées sur le schéma suivant.
Par exemple, la probabilité que l'attaquant A passe le ballon à l'attaquant B est égale à EMBED Equation.DSMT4 .
Un tel schéma est appelé un graphe. A, B et C sont appelés les sommets du graphe.
2) Marche aléatoire
On considère la variable aléatoire Xn prenant les valeurs A, B ou C à l'étape n.
A, B ou C s'appelle les états de Xn.
Par exemple, X3 = B signifie que l'attaquant B possède le ballon après la 3e passe.
La suite de variables aléatoires EMBED Equation.DSMT4 est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues EMBED Equation.DSMT4 .
Dans une marche aléatoire, l'état du processus à l'étape n + 1 ne dépend que de celui à l'état n, mais non de ses états antérieurs. Ainsi, la probabilité que l'attaquant C possède le ballon ne dépend que de la position précédente du ballon (en A ou en B) mais non de ses positions antérieures.
3) Probabilité de transition
On considère la loi de probabilité de Xn, appelée probabilité de transition, qui donne la probabilité qu'un attaquant possède le ballon à l'étape n (n-ième passe).
On note par exemple EMBED Equation.DSMT4 la probabilité que le ballon se trouve chez l'attaquant C après la n+1-ième passe sachant que c'est l'attaquant A qui envoie le ballon. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle.
4) Matrice de transition
Définition : La matrice de transition d'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i.
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/gmm_YF6QTlI" https://youtu.be/gmm_YF6QTlI
Dans l'exemple, la matrice de transition est :
On trouve par exemple à l'intersection de la première ligne et de la deuxième colonne la probabilité que le ballon arrive chez l'attaquant A sachant qu'il se trouvait chez l'attaquant B.
Remarques :
- Le coefficient EMBED Equation.DSMT4 de la matrice M est nul car la probabilité que l'attaquant A garde le ballon est nulle. Il en est de même pour les coefficients EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
- La somme des coefficients d'une même colonne d'une matrice de transition est égale à 1.
Définition : La matrice colonne des états de la marche aléatoire après n étapes est la matrice colonne dont les coefficients sont les probabilités d'arrivée en chaque sommet après n étapes.
Exemple :
Dans l'exemple des passeurs au football, la matrice colonne des états après la 3e étape donnerait les probabilités que le ballon se trouve chez l'attaquant A, chez l'attaquant B et chez l'attaquant C après 3 passes.
L'arbre de probabilité ci-contre permet de résumer les probabilités de transition de l'étape n à l'étape n+1.
A l'aide de la formule des probabilités totales, on a :
EMBED Equation.DSMT4
On note EMBED Equation.DSMT4 la matrice colonne des états de la marche aléatoire après n étapes. On a alors : EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition M et dont la matrice colonne des états à l'étape n est EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Exemple :
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/eePx5Skr1o0" https://youtu.be/eePx5Skr1o0
Dans l'exemple précédent, on suppose l'attaquant A possède le ballon à l'étape 0.
La matrice colonne des états après la 3e étape est égale à : EMBED Equation.DSMT4 .
On a EMBED Equation.DSMT4 car le ballon part de A.
Avec la calculatrice, on obtient : EMBED Equation.DSMT4
Donc EMBED Equation.DSMT4 .
Ainsi par exemple, la probabilité que l'attaquant C possède le ballon après la 3e passe est égale à EMBED Equation.DSMT4 .
IV. Etude asymptotique d'une marche aléatoire
1) Marche aléatoire convergente
Définition : On dit qu'une marche aléatoire de matrice de transition M est convergente si la suite des matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 des états de la marche aléatoire converge.
Définition : Si la suite EMBED Equation.DSMT4 des états dune marche aléatoire convergente vérifient EMBED Equation.DSMT4 alors la limite P de cette suite définit un état stable solution de l'équation EMBED Equation.DSMT4 .
Méthode : Etudier le comportement asymptotique d'une marche aléatoire à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/VoPxnfTMiPQ" https://youtu.be/VoPxnfTMiPQ
On considère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous où l'on part de A :
A l'aide de la calculatrice, déterminer l'état stable de cette marche aléatoire. On admet que la marche aléatoire est convergente.
La matrice de transition est EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est la suite des matrices colonnes des états de la marche aléatoire.
On a donc : EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 car on part de A.
A l'aide de la calculatrice, calculons par exemple EMBED Equation.DSMT4 :
On peut effectuer les calculs pour des puissances de M de plus en plus grande. On constate que l'état stable semble être la matrice colonne EMBED Equation.DSMT4 .
L'état stable P vérifie l'équation EMBED Equation.DSMT4 , en effet :
Remarque :
Cette méthode ne prouve pas que la marche aléatoire est convergente.
En supposant qu'elle l'est, elle permet seulement de déterminer l'état stable.
2) Cas d'un graphe à deux sommets
Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition M sur un graphe à deux sommets où EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 :
Alors on a EMBED Equation.DSMT4 et la suite des matrices colonnes EMBED Equation.DSMT4 des états de la marche aléatoire converge vers un état stable P tel que EMBED Equation.DSMT4 .
P ne dépend pas de l'état initial P0.
Démonstration :
Pour tout entier naturel n, on note EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 .
Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a :
EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout entier naturel n, on pose EMBED Equation.DSMT4 et on a :
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 est donc une suite géométrique de raison EMBED Equation.DSMT4 .
Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4 converge vers 0.
D'où EMBED Equation.DSMT4 converge vers EMBED Equation.DSMT4 .
Comme EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 converge vers EMBED Equation.DSMT4 .
Les limites de EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ne dépendent donc pas de l'état initial.
Méthode : Etudier le comportement asymptotique d'une marche aléatoire sur un graphe à deux sommets
Vidéo HYPERLINK "https://youtu.be/eOvtoVT7hvs" https://youtu.be/eOvtoVT7hvs
On considère la marche aléatoire sur le graphe ci-dessous :
Etudier la convergence de la marche aléatoire.
La matrice de transition est EMBED Equation.DSMT4 .
Pour tout entier naturel n, on a : EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4 est la suite des matrices colonnes des états de la marche aléatoire.
L'état stable EMBED Equation.DSMT4 vérifie l'équation EMBED Equation.DSMT4 , soit EMBED Equation.DSMT4 .
Ainsi, on a le système EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Comme EMBED Equation.DSMT4 , on a EMBED Equation.DSMT4 et donc EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
L'état stable du graphe est donc EMBED Equation.DSMT4 .
Cela signifie que quelque soit l'état initial (départ de A ou de B), les probabilités d'être en A et en B tendent respectivement vers EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
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