Corrigé exercice cuboctaèdre
Un étudiant se prépare à passer un examen oral important. .... E. SANZ, patron
de la station-service du coin, organise le travail pour la période de vacances.
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Corrigé
1°)
a) Comme le volume d'une pyramide est donné par la formule EMBED Equation.DSMT4 (où A est l'aire de base et h la hauteur) et, comme la hauteur du tétraèdre IJK associée à la face IFK est le segment [FJ] (car la droite (FJ) est orthogonale au plan IFK), on en déduit que :
EMBED Equation.DSMT4
Donc EMBED Equation.DSMT4
b) Si a = 4 cm alors EMBED Equation.DSMT4
c)
I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [FG].
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (IJ) est parallèle à la droite (EG).
De plus EMBED Equation.DSMT4 .
Par ailleurs EMBED Equation.DSMT4 (Démonstration : d'après le théorème de Pythagore, EMBED Equation.DSMT4 .
On en déduit que EMBED Equation.DSMT4 .
On démontre de même que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 .
Le triangle IJK est donc un triangle équilatéral dont les côtés ont pour longueur EMBED Equation.DSMT4 .
Le triangle IJK a donc une aire égale à : EMBED Equation.DSMT4
(Explications : un triangle équilatéral dont les côtés ont pour longueur c a des hauteurs de longueur EMBED Equation.DSMT4 et donc une aire égale à EMBED Equation.DSMT4 soit EMBED Equation.DSMT4 )
Comme le volume d'une pyramide est donné par la formule EMBED Equation.DSMT4 (où A est l'aire de base et h la hauteur) et, comme la hauteur du tétraèdre IJK associée à la face IJK est le segment [FL], on en déduit que :
EMBED Equation.DSMT4 .
Donc : EMBED Equation.DSMT4
Donc : EMBED Equation.DSMT4
d) Si a = 4 cm, alors EMBED Equation.DSMT4
2°)
a) La surface du cuboctaèdre se compose de six carrés dont les côtés ont une longueur égale à IK (soit EMBED Equation.DSMT4 ) et de huit triangles équilatéraux identiques au triangle IJK.
D'où :
EMBED Equation.DSMT4
b) Si a = 4 cm alors EMBED Equation.DSMT4
c) Le volume du cuboctaèdre est égal au volume du cube diminué des volumes des huit tétraèdres.
Donc :
EMBED Equation.DSMT4
d) Si a = 4 cm alors EMBED Equation.DSMT4
D. Pernoux HYPERLINK "http://pernoux.perso.orange.fr"http://pernoux.perso.orange.fr
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Pour une page avec applet java concernant le cuboctaèdre, voir HYPERLINK "http://dpernoux.free.fr/Espace/cubocta.htm" ICI
