Université Cheikh Anta Diop de Dakar - Fastef - Ucad
Il comprend deux (02) grands chapitres : cinématique du point matériel ..... à l'
aide des indications fournies par le constructeur au sujet des appareils de
mesure.
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Université Cheikh Anta Diop
Faculté des Sciences et Technologies de l'Education et de la Formation
(FASTEF)
_____________________________________________
DEPARTEMENT DE SCIENCES PHYSIQUES
FORMATION DES PROFESSEURS DE COLLEGES
DENSEIGNEMENT MOYEN
SECTION F1C1 (Niveau Bac + 1 an)
Année académique 2013 / 2014
COURS DE PHYSIQUE
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
Auteur du module :
Mamadi BIAYE
Formateur, Professeur Titulaire des
Universités en Physique Atomique
Département de Sciences Physiques
Faculté des Sciences et Technologies
de lEducation et de la Formation
(FASTEF)
Tel. Domicile : 33 836 32 31
Portable : 77 323 74 50
Email : HYPERLINK "mailto:yalabiaye@gmail.com"yalabiaye@gmail.com
HYPERLINK "mailto:mamadi.biaye@ucad.edu.sn"mamadi.biaye@ucad.edu.sn
Justification / importance du cours
Ce module sinsère dans un programme de formation des enseignants. Il permet dasseoir les compétences de base acquises en mécanique dans le cycle secondaire. Il traite les mouvements des objets qui constituent une importance capitale dans la physique de lunivers. Ce module aide non seulement lapprenant à mieux comprendre les lois qui régissent tout mouvement mais aussi permet dutiliser ces lois pour la description du mouvement de tout point matériel. La description de ces mouvements constitue les travaux essentiels des physiciens pour le développement de la science depuis Aristote et Galilée
Présentation du cours
Ce module de Mécanique du point est destiné aux étudiants, enseignants vacataires et contractuels de niveau 1ère année de Licence de Physique et Chimie des Facultés. Il comprend deux (02) grands chapitres : cinématique du point matériel ; dynamique du point matériel. Le premier chapitre traite les opérations sur les grandeurs vectorielles, les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques. Il traite également les vecteur-positions, les vecteur-vitesses et les vecteur-accélérations en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques. La dernière partie de ce premier chapitre est consacrée à létude de quelques mouvements tels que : les mouvements rectilignes uniformes, les mouvements rectilignes uniformément variés et les mouvements circulaires uniformes. Le deuxième chapitre est consacré à létude des notions de travail, dénergie cinétique, dénergie potentielle et dénergie mécanique. Ce chapitre étudie également le moment linéaire, le moment cinétique ainsi que leur application dans létude des chocs et des forces centrales. La dernière partie de ce chapitre traite les oscillateurs harmoniques à une dimension. Une partie évaluation regroupant plusieurs exercices se trouve à la fin de ce cours.
Plan sommaire du cours
Chapitre 1. Cinématique du point matériel
Les grandeurs Physiques : unités, symboles et équations aux dimensions
Opérations sur les grandeurs vectorielles
Les opérateurs vectoriels
Référentiels et repères
Expressions des vecteur-positions, vitesse et accélération
Etude de quelques mouvements
Chapitre 2. Dynamique du point matériel
Notion de forces extérieures
Les lois de Newton
Travail Energie mécanique
Quantité de mouvement ou moment linéaire
Moment angulaire ou moment cinétique
Les oscillateurs harmoniques libres à une dimension
Les mots clés
Référentiel, repère, opérateur vectoriel, vitesse, position, accélération, énergie potentielle, énergie cinétique, énergie mécanique, moment linéaire, moment cinétique, force, mouvement, travail, puissance, oscillateurs harmonique, période, fréquence.
Durée du cours
Ce cours de Mécanique du point est semestriel. Il se déroule en présentiel au premier semestre avant le cours dOptique géométrique. Le volume horaire est le suivant :
Chapitre 1. Cinématique du point matériel : 40 heures
Chapitre 2. Dynamique du point matériel : 42 heures
Les objectifs dapprentissage
Les objectifs généraux
Lapprenant doit être capable de :
Objectifs de connaissance
- Connaître les grandeurs physiques,
- Connaître les concepts dénergie, de travail
- Connaître la relation entre énergie et travail
Objectifs de savoir faire théorique
- Comprendre les mouvements à une dimension
- Comprendre les mouvements à deux dimensions
- Appliquer le théorème de lénergie cinétique à un système donné
- Appliquer le théorème de la conservation de lénergie mécanique à un système
- Appliquer les lois de Newton pour la résolution des problèmes
Les Objectifs Spécifiques
Objectifs spécifiques de connaissance
- Rappeler la définition dune grandeur physique
- Citer quelques grandeurs physiques
- Citer les unités de quelques grandeurs Physiques
- rappeler la définition de la trajectoire dun mobile
- rappeler la définition de la vitesse moyenne
- rappeler les composantes du vecteur-accélération dans un repère (o, x, y, z)
- Enoncer les trois lois de Newton
- Appliquer les lois de Newton pour la résolution des problèmes
- Enoncer le théorème de lénergie cinétique
Objectifs spécifiques de savoir-faire théorique :
- Distinguer une grandeur vectorielle dune grandeur scalaire
- Ecrire les équations paramétriques du mouvement.
- Calculer la vitesse moyenne dun mobile.
- Calculer la vitesse instantanée dun mobile.
- Calculer laccélération moyenne dun mobile
- Calculer laccélération instantanée dun mobile
- Intégrer la vitesse instantanée
- Intégrer laccélération instantanée
- Tracer la trajectoire du mobile
- Calculer les composantes intrinsèques (locales) de laccélération
- Inventorier les forces agissant sur un corps
- Déterminer les conditions déquilibre dun solide
- en translation rectiligne
- en rotation
- Calculer le travail dune force constante
- Calculer le travail dune force variable
- Calculer lénergie potentielle de pesanteur
- Calculer lénergie cinétique dun mobile
- Calculer lénergie mécanique dun système
- Déterminer léquation différentielle doscillateur harmonique
- Calculer le décrément logarithmique
-Déterminer léquation différentielle de loscillateur harmonique en translation
Contenu du cours
CHAPITRE 1. CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
La mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvements des corps.
Elle comprend la cinématique et la dynamique.
La cinématique étudie les mouvements des corps sans inclusion des causes et des conséquences. Elle permet donc la détermination des vecteurs position r, vitesse v et accélération a du point matériel sur sa trajectoire.
Les grandeurs physiques
Définition
On appelle grandeur physique toute propriété de la HYPERLINK "http://dictionnaire.sensagent.com/Science_de_la_nature/fr-fr/" \o "Science de la nature" nature qui peut être HYPERLINK "http://dictionnaire.sensagent.com/Quantification/fr-fr/" \o "Quantification" quantifiée par la HYPERLINK "http://dictionnaire.sensagent.com/Mesure_physique/fr-fr/" \o "Mesure physique" mesure ou le calcul et dont les différentes valeurs possibles s'expriment à l'aide d'un HYPERLINK "http://dictionnaire.sensagent.com/Nombre/fr-fr/" \o "Nombre" nombre généralement accompagné d'une HYPERLINK "http://dictionnaire.sensagent.com/Unit%C3%A9_de_mesure/fr-fr/" \o "Unité de mesure" unité de mesure.
Exemple : la masse, la longueur, lindice de réfraction, la densité
Il existe deux types de grandeurs physiques : les grandeurs fondamentales ou de base et les grandeurs dérivées.
Exemples. Grandeurs physiques fondamentale: longueur, temps, masse, température
Grandeurs dérivées : volume, superficie, masse volumique, vitesse
Unités, représentations, dimensions
Grandeur physiquesSymbolesUnités (SI)DimensionsGrandeurs fondamentalesDistance et longueurlm [L]Durée et tempsts [T]massemkg[M]température°K[ðqð]ðQuantité de matièrenmol[n]Intensité du courant électriqueIA[I]tensionUV[M]·[L]2·[T]-3·[I]-1Intensité lumineuse, flux lumineux lm[J]Eclairement lumineuxElx[J] [L]-2Grandeurs dérivéessuperficiesM2[L]2volumeVm3[L]3angleqð, að, bðrad-fréquencefHz[T]-1vitessevm s-1[L] [T]-1accélérationam s-2[L] [T]-2Vitesse angulairewrad s-1[T]-1Energie, travailEJ[M] [T]-2 [L]2Masse volumiquerð , mðKg m3[M] [L]-3pressionPPa[M] [L]-1 [T]-2forceFN[M] [L] [T]-2Quantité de mouvementpN s[M] [L] [T]-1puissancePw[M] [L]2 [T]-3
Les dimensions des grandeurs dérivées sont déterminées à partir des équations contenant les grandeurs dont on connaît déjà les dimensions suivant lexemple ci-dessous :
Mesures et incertitudes de mesures
Précision des mesures
Les sciences physiques sont avant tout des sciences expérimentales. Toute théorie doit impérativement être validée par lexpérience et toute expérience doit être expliquée par la théorie. Ce va et vient impose au physicien de mesurer les grandeurs physiques quil invente. Il se sert pour cela dappareil de mesure quil fabrique. De ce fait toute valeur de grandeur physique se verra entaché derreurs dues à la méthode et à lappareillage utilisé pour obtenir cette valeur.
Notion dincertitude
Lorsqu'on mesure une grandeur quelconque (intensité du courant ou longueur d'une table par exemple), on ne peut jamais obtenir la valeur exacte. En effet, la valeur mesurée lest toujours par lintermédiaire dun appareil de mesure, construit par lhomme et, de ce fait, possédant des défauts. Le physicien, travaillant sur des mesures lors de ses expériences doit toujours être conscient de ce fait : la mesure est entachée dincertitudes. La bonne connaissance de linstrument de mesure et de la méthode mise en uvre permet dévaluer lécart entre la mesure et la valeur exacte.
On appelle erreur la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte. Mais comme on ignore la valeur exacte, on ne peut pas connaître l'erreur commise. Le résultat est donc toujours incertain. On parle dincertitudes de mesure.
Les trois causes d'incertitudes sont :
l'imperfection de l'appareil de mesure.
le défaut de la méthode de mesure.
les limites de l'homme (lecture des appareils analogiques).
Ces incertitudes proviennent de deux types derreurs que sont : les erreurs fortuites et les erreurs systématiques.
Les erreurs fortuites (ou accidentelles) peuvent provenir de lopérateur qui se trompe déchelle de lecture, ou qui ne positionne pas son il en face de laiguille, pour un appareil à aiguille (erreur de parallaxe). Pour éviter les erreurs de parallaxe, un miroir est placé sous laiguille. La position de lil est correcte lorsque laiguille est superposée à son reflet dans ce miroir.
Les erreurs fortuites peuvent aussi provenir dun défaut de lappareil de mesure ou dun défaut sur le montage (mauvais contact, défaut disolement etc. ).
Les erreurs systématiques: ont pour cause le choix de la méthode de mesure (la présence dun appareil de mesure peut perturber le fonctionnement dun montage), le manque de précision de lil de lopérateur ( pour les appareils à aiguille ), le manque de précision des appareils de mesure ( classe de précision, mauvais étalonnage, mauvais réglage des zéros ).
Incertitude absolue
Cest le plus grand écart qui existe entre la valeur mesurée et la valeur exacte. Elle a la même unité que la grandeur mesurée. Elle sera déterminée à laide des indications fournies par le constructeur au sujet des appareils de mesure. Il est noté DðX ð ð ð ð ð
Pour les appareils analogiques: (à aiguille) l incertitude absolue DðX liée à la classe de l appareil est donnée par la relation : EMBED Equation.2
La classe de l appareil se lit sur l appareil.
Cette incertitude ne dépend pas de la déviation de laiguille, cest pour cela quil faut utiliser, si possible, avec les appareils analogiques le calibre qui permet une lecture dans le dernier tiers de la graduation.
Pour les appareils numériques : lincertitude dépend dun terme constant plus dun terme proportionnel qui est un pourcentage de la valeur absolue de la lecture.
Par exemple : EMBED Equation.3 (1 digit = 1 unité sur le dernier chiffre )
Les valeurs du terme constant et du terme proportionnel sont donnés sur la documentation du constructeur et dépendent du calibre. Attention, pour calculer lincertitude absolue il faut utiliser la valeur absolue de la lecture.
Remarque : Si un instrument de mesure nindique pas lincertitude absolue dune mesure, on considère quelle correspond à la moitié de la plus petite unité quaffiche linstrument.
Incertitude relative
Cest le quotient de lincertitude absolue par la valeur absolue de la valeur mesurée. Elle na pas dunité et peut être exprimée en pourcentage.
EMBED Equation.2
ou encore : EMBED Equation.2
Documentation des appareils de mesure.
1 - Multimètre TRG2200 :
Tensions continues : Intensités continues :
V400 mV4 V40 V400 V1000 VA4 mA40 mA400 mA10 AR10 MWðPrécision0.5% lect. + 1 point2% lect + 1 pointPrécision0.25% lect. + 1 point0.25% lect+3pts
2 - Multimètre Metrix MX 553 :
Tensions continues : Intensités continues :
GammesPrécisionRésistance d entréeRésolutionPrécisiond.d.p.RésolutionmV500 mV0,1 % lect + 2 pts10 MWð10 µV5 mA0,2 % lect + 2 pts700 mV1 µA5 V0,1 % lect + 2 pts11 MWð100 µV50 mA0,2 % lect + 2 pts700 mV10 µAVDC50 V0,1 % lect + 2 pts10 MWð1 mV500 mA0,2 % lect + 2 pts1,5 V100 µA500 V0,2 % lect + 2 pts10 MWð10 mV10 A0,5 % lect + 5 pts500 mV10 mA1000 V0,3 % lect + 2 pts10 MWð100 mV
Ecriture d une valeur numérique : le nombre de chiffres significatifs
Les chiffres significatifs
Puisque les valeurs correspondant aux grandeurs étudiées en physique ne sont jamais exactes, il convient de prêter attention au nombre de chiffres qui les expriment.
Toute valeur numérique provenant d'une mesure ou d'un calcul (sur des grandeurs mesurées) doit être exprimée avec un nombre de chiffres dits significatifs tenant compte des incertitudes.
Un chiffre significatif est un chiffre nécessaire pour exprimer la valeur dune grandeur physique mais aussi sa précision.
Exemple :
Tous les chiffres non nuls sont significatifs : 1542,3 a 5 chiffres significatifs ; 15,423 a 5 chiffres significatifs (la virgule n'intervient pas).
Les zéros placés à l'intérieur dun nombre ou à la fin dun nombre après la virgule, sont toujours significatifs : 2005 a 4 chiffres significatifs ; 187,50 a 5 chiffres significatifs ; 187,5 a 4 chiffres significatifs. Donc 187,50 et 187,5 ne sont pas identiques, le premier est plus précis.
Les zéros placés au début dun nombre ne sont jamais significatifs : 0,52 a 2 chiffres significatifs ; 0532 a 3 chiffres significatifs
Les zéros placés à la fin d'un nombre sans virgule peuvent être ou ne pas être significatifs :
200 mA a 1 ou 2 ou 3 chiffres significatifs
Pour sortir de l'ambiguïté on peut changer d'unité et faire apparaître ainsi une virgule :
0,20 A a 2 chiffres significatifs
0,200 A a 3 chiffres significatifs
Le nombre de chiffre significatif indique la précision avec laquelle la valeur est connue.
Ecriture dune valeur numérique en notation scientifique
En mathématiques, écrire X = 11 597 g, signifie que seul le dernier chiffre, 7, est incertain. On a donc :
11 596,5 g d" X d" 11 597,5 g.
En physique, en l absence d indication explicite sur l incertitude attachée à X, on admet souvent que celle-ci est égale à une demi unité du dernier chiffre exprimé
(P. Fleury et J.-P. Mathieu, Mécanique physique, 4ème édition, 1965, page 42).
Les écritures : X = 11 597 g ou X = (11 597 ± 0,5) g sont donc équivalentes
En revanche, si l on désire indiquer que l incertitude X sur X est de 1 g, par exemple, au sens où lintervalle (11 596 g, 11 598 g) a de fortes chances de contenir la vraie valeur de X, alors il faut écrire X = (11 597 ± 1) g.
En notation scientifique, le résultat dune mesure sécrit sous la forme suivante :
a = â ± a,
où â est l estimateur et a l incertitude absolue
Dans cette écriture, l incertitude a s exprime avec deux chiffres significatifs (au maximum) ; les derniers chiffres significatifs conservés pour l estimateur â sont ceux sur lesquels porte a.
Exemples : m = (98,5 ± 1,6) g.
R = 46,8 © ± 0,3 ©
P = (3,420 ± 0,026) kW.
Opérations avec les valeurs numériques et précision des résultats
Le résultat d une multiplication (ou d une division) de deux valeurs numériques ne peut avoir plus de chiffres significatifs que la valeur numérique qui en comporte le moins.
Exemple : 2,37 x 1,2 = 2,8
Donc on écrit 2,8 et non 2,844
0,625 : 0,5 = 1,2
Donc on écrit 1,2 et non 1,25
Le résultat dune addition (ou dune soustraction) de deux valeurs numériques ne peut être plus précis que la valeur numérique la moins précise.
Exemple : soient deux longueur 94 m et 8,7 m
94 m + 107 m = 103 m
0n nécrit pas 102,7 m car la précision de la première longueur est le mètre et quune meilleure précision nest pas possible pour le résultat.
Soient les surfaces 54,3 cm2 et 12,17 cm2
(54,3 - 12,17) cm2 = 42,1
On écrit nécrit pas 42,13 cm2 mais bien 42,1 cm2
Notion de matrice
Définition
Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes :
Exemple avec n = 2, m = 3 :n et m sont les dimensions de la matrice.
Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier).
On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij]
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément vecteur-colonne) :
Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée.
Exemples de matrices
Cas où n = 4
Matrice unité Parfois notée In n est la dimension de la matrice (soit I4 dans cet exemple)Matrice diagonalenotée diag(Dii) Matrice triangulaire supérieure UMatrice triangulaire inférieure LUne matrice carrée A est dite symétrique si :
Aji = Aij
pour tout i différent de j
Opération sur les matrices
Addition et soustraction
L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions :
Multiplication par un nombre
Chaque terme de la matrice est multiplié par le nombre :
Transposition
La transposée AT (aussi notée A') d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A :
La transposée d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne :
Multiplication des matrices
Définissons tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y :
Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
Le produit matriciel s'en déduit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.
Exemple :
On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne :
Propriétés des matrices
Le produit matriciel est :
associatif : ABC = (AB)C = A(BC)
distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC
non commutatif : AB n'est pas égal à BA en général.
La matrice unité I est élément neutre pour la multiplication : AIm = InA = A, si la matrice A est de dimensions n × m.
Transposée d'un produit : (AB)T = BTAT (Attention au changement d'ordre !).
Matrice inverse
Une matrice carrée A est dite inversible ou régulière s'il existe une matrice carrée A-1 (appelée matrice inverse) telle que :
A × A-1 = A-1 × A = I
Si A-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulière
Propriétés :
(A-1)-1 = A
(AT)-1 = (A-1)T
(AB)-1 = B-1A-1 (Attention au changement d'ordre !)
La matrice A est dite orthogonale si A-1 = AT
Déterminant dune matrice carrée
Pour une matrice 2 × 2, on montre que la matrice inverse est donnée par :
Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté :
La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro.
La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. Ce résultat se généralise à une matrice de dimension quelconque.
Remarque. On peut déterminer linverse des matrices carrées An dordre égal ou supérieur à 3 à partir de la matrice cofacteurs :
EMBED Equation.3
Avec CoAn : la comatrice de An
Exemple : Soit la matrice EMBED Equation.3
La comatrice de EMBED Equation.3 est EMBED Equation.3
Propriétés des déterminants :
det(AT) = det(A)
det(AB) = det(A) × det(B)
Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. En particulier, det(I) = 1 (si I est la matrice unité)
Remarque. Pour le calcul des déterminants, on peut utiliser la règle de Sarrus. Mais cette règle nest valable que pour les matrices carrées dordre 3.
Applications aux systèmes déquations linéaires
Formulation matricielle
Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 .................................................... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
où les aij sont les coefficients du système, les xi les inconnues et les bi les termes constants.
Un tel système peut s'écrire sous forme matricielle :
Ax = b
avec :
Exemple
Soit le système de 2 équations à 2 inconnues :
2x1 + 3x2 = 9 x1 - x2 = 2
On a successivement :
Soit : x1 = 3, x2 = 1.
Référentiels et repères
Un référentiel est un corps de référence par rapport auquel se fait le mouvement d'un autre corps. C'est un être physique . Il permet de situer qualitativement la position du mobile au cours de son mouvement.
Pour déterminer la position précise du mobile, on associe au référentiel un repère. Selon la nature du mouvement, on peut associer avantageusement au référentiel, tel ou tel autre repère.
Exemple1: Repères cartésiens EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Repère cartésien EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
(Etude du mouvement rectiligne)
O i M x
y M
Repère cartésien EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
(Étude du mouvement plan)
O x
Repère cartésien EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
(Étude du mouvement dans l'espace)
Exemple 2: Repère de Frenet.
Il est constitué de 2 ou de 3 vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux suivant que le mouvement se passe dans le plan ou dans l'espace comme dans le repère cartésien. Il est adapté à l'étude de mouvement curviligne. Ce repère est en général entraîné dans le mouvement du mobile.
Dans un mouvement plan , ce repère utilise les coordonnées polaires.
Dans un mouvement cylindrique, ce repère utilise les coordonnées cylindriques.
Dans un mouvement spatiale , ce repère utilise les coordonnées sphériques.
Il existe deux types de repère: Repères absolus et repères mobiles.
Repères absolus
Ce sont des repères supposés fixes: pas de mouvement de translation, ni de rotation. On les appelle quelques fois des repères fixes:
- Repère de Copernic
- Repère géocentrique
- Repère terrestre
Ces repères sont dits galiléens. Seuls le premier est rigoureusement galiléen. Les deux derniers le sont également, lorsque l'on tient compte de certaines hypothèses.
Repères mobiles
Repères galiléens. Tout repère en mouvement de translation uniforme, sans rotation par rapport à un repère absolu, est dit galiléen.
Un repère en mouvement de translation uniforme par rapport à un autre repère galiléen est aussi galiléen.
Exemple : repère galiléen cartésien.
Repères non galiléens. Tout repère non galiléen peut être ramené à un repère en translation non uniforme et / ou en rotation
Exemples: Repère de Frenet: En coordonnées polaires
En coordonnées cylindriques
En coordonnées sphériques
Expressions des vecteurs position, vitesse et accélération
4.1. En coordonnées cartésiennes (repère fixe)
M
Soit le rayon vecteur EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
expression de la vitesse
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
- expression de l'accélération
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Equation.3
4.2 En coordonnées polaires
r et qð sont les coordonnées polaires M
¸
Le rayon vecteur est défini par O x
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Avec EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 vecteur unitaire non constant
a) Expression de la vitesse
b) Expression de l'accélération
Remarque 1
Pour un mouvement circulaire : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 car r = cst
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Pour mouvement circulaire uniforme, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Remarque 2: autre expression de V
4.3. En coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques sont aussi définies dans le repère de Frenet :
M
O
y
¸
N
x
Ce sont : rð la distance du point mobile à l'axe des z
l'angle défini par le plan (ox, oz) et le plan (rð, oz)
Le vecteur-position est : EMBED Equation.3
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
On reprend les mêmes calculs quen coordonnées polaires où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 jouent le même rôle que EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 respectivement. On obtient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Opérations sur les grandeurs vectoriels
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des modules par le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.
5.2 Produit vectoriel
Lorsquon change de place deux vecteurs unitaires du trièdre direct ( EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 , ce trièdre
devient indirect
Exemples : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Avec EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Soient EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 deux vecteurs
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le produit vectoriel de deux vecteurs est aussi un vecteur.
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Or EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
6. Les opérateurs vectoriels
6.1. Définitions dans le cas général
Soient les éléments de longueurs différentiels suivants : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Définissons, les opérateurs vectoriels suivants dans un repère quelconque (cas général) de coordonnées EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 .
6.1.1. Lopérateur gradient
Lopérateur gradient dune fonction scalaire EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 , noté EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Lopérateur gradient a donc pour expression :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 sont des vecteurs unitaires
Le gradient dune fonction scalaire est une grandeur vectorielle.
6.1.2. Lopérateur divergence
Lopérateur divergence dune grandeur vectoriel EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
La divergence dune grandeur vectorielle est une grandeur scalaire.
6.1.3. Lopérateur rotationnel
Lopérateur rotationnel dune grandeur vectorielle EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le rotationnel dune grandeur vectorielle est aussi une grandeur vectorielle.
6.1.4. Lopérateur Laplacien
Lopérateur Laplacien dune grandeur scalaire EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le Laplacien dune grandeur scalaire est aussi une grandeur scalaire
6.2. Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes sont : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ;
En coordonnées cartésiennes, dans lexpression des opérateurs vectoriels, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ;
Les éléments de longueur différentiels sont alors : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
6.3. Expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques sont : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ;
En coordonnées cylindriques, dans lexpression des opérateurs vectoriels, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Les éléments de longueur différentiels sont : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
6.4. Expressions des opérateurs en coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques sont : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ;
En coordonnées cylindriques, dans lexpression des opérateurs vectoriels, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Etude de quelques mouvements
Mouvement rectiligne
Si la particule M est à tout instant t sur une droite, on aura :
Le vecteur-position est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le vecteur-vitesse est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Avec EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 vecteur unitaire constant
a) cas du mouvement rectiligne uniforme
Vecteur-accélération : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Vecteur-vitesse : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Equation horaire : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 avec x0 : abscisse à lorigine des temps
b) cas du mouvement rectiligne uniformément varié
Vecteur-accélération : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Equation de la vitesse EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 , avec V0 : vitesse à lorigine des temps
Equation horaire : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Remarques:
- le mouvement rectiligne est dit uniformément accéléré si la norme de V augmente
- le mouvement rectiligne est dit uniformément décéléré si la norme de V décroit.
Mouvement circulaire
Une particule M est animé d'un mouvement circulaire, si à tout instant, elle est situé sur un cercle de rayon R et de centre O
Le vecteur- position est défini dans un mouvement circulaire par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le vecteur-vitesse a pour expression :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le vecteur-accélération est défini par :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Or pour un mouvement circulaire uniforme, on a EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le vecteur-accélération est centripète durant tout le mouvement
Le rayon de courbure
Définition
Dans le repère local de Frenet le vecteur accélération EMBED Equation.3 est défini par :
EMBED Equation.3
Où
EMBED Equation.3 est labscisse curviligne
EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire appartenant au trièdre de Serret Frenet : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
En effectuant un changement de variable pour la dérivée du vecteur tangent, on a :
EMBED Equation.3
Où EMBED Equation.3 est le rayon de courbure
Le vecteur accélération sécrit alors : EMBED Equation.3
Avec EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 composante tangentielle de laccélération
EMBED Equation.3 composante normale de laccélération
Détermination pratique
A laide de la définition précédente, on a :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Dans la plupart des cas on part de :
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
On pourra ainsi déterminer lexpression du rayon de courbure à partir des équations paramétriques et de léquation de la trajectoire.
Cas dune courbe plane en coordonnées cartésiennes
Expression du rayon de courbure à partir des équations paramétriques
Soient x(t) et y (t) les équations paramétriques
EMBED Equation.3
Expression du rayon de courbure à partir de léquation de la trajectoire
Soient EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
b) Cas dune courbe plane en coordonnées polaires
Expression du rayon de courbure à partir des équations paramétriques
Soient EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 les équations paramétriques
EMBED Equation.3
Expression du rayon de courbure à partir de léquation de la trajectoire
Soient EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
CHAPITRE II : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
La dynamique est l'étude des mouvements des corps incluant les causes et les conséquences des mouvements.
Les forces
On peut sérier les forces en deux catégories :
Les forces à distances : les forces de gravitation, les forces de Lorentz (forces électriques et magnétiques), forces faibles et forces fortes
Les forces de contact : elles représentent le résultat macroscopique des quatre (04) forces à distances (force de Laplace, force de frottement, poussée dArchimède
.)
Les forces à distance
La physique utilise actuellement quatre forces pour décrire les interactions entre particule. Leur point commun est de décroitre lorsque la distance augmente
La force gravitationnelle
Elle a été énoncée par Newton en 1650. Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 sattirent en exerçant lun sur lautre des forces de même module, de même direction, de sens opposé, proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance
EMBED Equation.3 m2
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
m1
KG : constante de gravitation universelle et r est la distance entre les deux corps
Ces forces dinteraction gravitationnelles sont énormes lorsquil sagit des interaction entre les planètes du système solaire et le soleil, mais aussi entre les planète et leurs satellites. Elles sont par contre très faibles pour des corps de petites masses en interaction sur la terre et pour les interactions entre particules chargées.
Les forces de Lorentz
Elles interviennent lorsque les particules sont chargées et sont bien plus importantes que les forces gravitationnelles entre particules chargées. Ce sont les forces électriques ou coulombiennes qui sappliquent à des particules au repos et les forces magnétiques qui sajoutent aux forces électriques lorsque les particules sont en mouvement.
La force électrique sécrit :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 q2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
q1
q1 et q2 sont des charge exprimées en coulomb, r est la distance entre les deux charges. Les forces sont attractives ou répulsive suivant les signes des charges q1 et q2. Dans le schéma ci-dessus, les forces sont attractives, donc les charges sont de signes opposés.
La force magnétique apparaît lorsque la particule est en mouvement. Elle sajoute à la force électrique. Elle se déduit de la force électrique par application des transformations relativistes et sécrit pour la charge q2 :
EMBED Equation.3
Où EMBED Equation.3 est le champ magnétique exprimé en Tesla, EMBED Equation.3 la vitesse de la charge.
En rassemblant la force électrique et la force magnétique, on obtient :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
¸ EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Les forces faibles EMBED Equation.3
Elle agit à courte distance, à léchelle atomique. Elle régit les interactions entre matière et neutrinos et les modes de désintégration ( des noyaux instables.
Elle permet la conversion de lhydrogène en hélium qui est la source dénergie principale des étoiles, donc de notre soleil.
Les forces fortes
De très courte portée, elle assure par exemple la cohésion du noyau, sinon il serait instable sous leffet des forces coulombiennes répulsives, car les charges sont toutes positives (protons).
Les forces de contact
Ces forces ne sont pas de nouvelles forces. Lorsquil y a contact de deux corps, ces forces sont la manifestation macroscopique des quatre forces fondamentales (les forces à distance). Ce sont : les forces de Laplace, les forces de frottement solide, le forces de frottement visqueux, la poussée dArchimède, les forces de tension (fils, ressort, etc
..)
La force de Laplace
Tout conducteur électrique de longueur l, placé dans un champ magnétique uniforme EMBED Equation.3 et parcouru par un courant électrique dintensité I, subit une force :
EMBED Equation.3
Cette force est aussi appelée force électromagnétique. Elle représente au plan macroscopique la résultante des forces de Lorentz appliquées aux différentes charges traversant le conducteur.
Les forces de frottement solide
Deux cas peuvent se présenter : solides immobiles lun par rapport à lautre et solides en mouvement relatif ;
Solides immobiles lun par rapport à lautre (solides sans glissement relatif)
Le contact dun solide de masse m susceptibles de bouger avec un autre corps, se manifeste par la réaction EMBED Equation.3 . On peut décomposer cette réaction en deux composantes : EMBED Equation.3 réaction normale et EMBED Equation.3 réaction tangentielle encore appelée force de frottement. Le sens de cette force de frottement est à priori inconnu.
Les lois du frottement nous apprennent que labsence de glissement (mouvement relatif) nest possible que si le rapport de la composante tangentielle RT à la composante normale RN ne dépasse pas une certaine valeur appelée coefficient de frottement statique ks.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Lorsque le rapport RT / RN augmente, le système ne présente aucun glissement relatif tant quil est inférieur à ks. La valeur ks est donc la valeur maximum de ce rapport. Lorsque ce
rapport atteint (puis dépasse) ks, le système présente un glissement (relatif).
Solides en mouvement relatif (glissement lun par rapport à lautre)
Lorsquil y a glissement dun solide de masse m sur un corps ou un support immobile, on définit un coefficient de frottement dynamique kd. On a alors : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
En projetant suivant la verticale, on a :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Dans cas, le sens de la force de frottement EMBED Equation.3 est toujours opposé à celui du mouvement de du solide de masse m. Ce coefficient dynamique est généralement inférieur au coefficient statique
Les forces de frottement visqueux
Ce frottement sapplique à un solide se déplaçant dans un milieu liquide ou gazeux, donc dans un fluide. Le problème est identique pour un objet fixe dans un fluide en mouvement et pour un objet mobile dans un fluide en mouvement. C'est la vitesse relative EMBED Equation.3 que lon prend en compte. La force exercée par le fluide a toujours une composante opposée à la vitesse qui s'appelle la traînée. Si le corps qui se déplace ne présente pas, dans la direction de la vitesse, un aspect symétrique, une composante perpendiculaire à la vitesse apparaît. Cette vitesse s'appelle la portance. Elle permet entre autres aux voiliers d'avancer et aux avions de voler.
Dans cette partie de ce cours nous ne parlerons que de la traînée.
La force exercée par le milieu sur la masse m a toujours même direction que la vitesse, mais elle est toujours de sens opposé : EMBED Equation.3 . A faible vitesse, le coefficient b peut être considéré comme constant, mais ce n est plus vrai lorsque la vitesse dépasse un certain seuil.
Vitesse faible (régime laminaire)
EMBED Equation.3
où · est la viscosité du milieu (Pascal.seconde ou Poiseuille), indépendante de la vitesse
k nest pas fonction de la vitesse, mais de la géométrie du système, et sa dimension est une
longueur.
La force est donc proportionnelle à la vitesse (régime linéaire).
Exemple : dans le cas dune sphère de rayon R, k = 6ÀR
EMBED Equation.3
Vitesse élevée (régime turbulent)
EMBED Equation.3
C est le coefficient de pénétration dans l air ou coefficient de traînée, S la surface apparente du mobile dans le plan perpendiculaire au mouvement, et ( la masse volumique du fluide.
EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire.
La force varie donc comme le carré de la vitesse (régime quadratique).
La poussée dArchimède
Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale, dirigée vers le haut, égale au poids du liquide déplacé :
EMBED Equation.3
( est la masse volumique du fluide, V est le volume du liquide déplacé et g est lintensité de la pesanteur. EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire dirigé vers le haut suivant la verticale.
Remarque : le solide doit avoir un volume petit pour que EMBED Equation.3 soit constant
Les forces de tension
Un fil élastique, un ressort, une lame que lon plie exercent une force. Cette force est en première approximation proportionnelle à leur allongement, ou à lamplitude de leur déformation.
Dans cette approximation linéaire, un fil élastique ou un ressort exerce une force :
EMBED Equation.3
k est la constante de raideur du ressort, lo est sa longueur au repos c'est-à-dire lorsquaucune force n'est exercée par le ressort, l la longueur après allongement ; EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire dans la direction du ressort, orienté de son point de fixation vers le point où il exerce la force.
Une lame exerce une force de tension proportionnelle à lamplitude de la déformation.
Un fil inextensible exerce une force de tension dont la norme peut être mesurer avec un dynamomètre.
Les forces pressantes
Une force pressante est une force EMBED Equation.3 qui modélise laction mécanique de contact quexerce un solide ou un fluide sur la surface S dun corps.
EMBED Equation.3 avec P pression du fluide ou du solide
La force EMBED Equation.3 est perpendiculaire à la surface S.
Les forces intérieures et extérieures
Pour étudier tout système donné, il convient de sérier les forces de contact et à distance en forces intérieures et extérieures. Etant donné que seules les forces extérieures déterminent le mouvement du point matériel, il sera fait un bilan de toutes les forces extérieures dans l'application des lois.
Exemple: le pendule conique (fig. 7)
Système { S } Forces ext. : T, P
Forces int. : néant
Système { S + terre } Forces ext. : T
Forces int. : P
Une force intérieure est une force qui s'exerce à l'intérieure du système; c'est aussi une force que le système exerce sur l'extérieure, cest aussi une force quune partie du système exerce sur un autre partie du système.
Une force extérieure est une force que l'extérieure exerce sur le système.
Les lois de la dynamique
Le principe fondamental de la dynamique
Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement.
Formulation mathématique:
2.2. Le principe des actions réciproques
Enoncé :
Lorsque un corps A exerce une force EMBED Equation.3 sur un corps B, ce dernier réagit à son tour en exerçant sur A une force EMBED Equation.3 de même norme, même direction et de sens opposé à EMBED Equation.3 .
Formulation mathématique:
Les trois lois de Newton
Les trois lois de Newton napportent rien de plus que les deux lois précédentes et sont même plus restrictives. Cependant elles ont eu une grande importance historique puisquelles ont régit la mécanique de Newton jusquau 20e siècle. Les lois de Newton ne sont valables que pour des corps dont la masse est constante.
La 1ère loi : le principe d'inertie
Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un système est soit:
immobile ( EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 )
animé d'un mouvement rectiligne et uniforme ( EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 )
Formulation mathématique:
(II.1)
La 2e loi : (ancienne loi fondamentale de la dynamique)
Enoncé :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse m par laccélération EMBED Equation.3 de sont centre de masse.
Formulation mathématique:
Remarque : A ne pas confondre centre de masse G dun corps et centre de gravité. Ce sont deux points différents. Ils ne sont confondus que si le champ de pesanteur EMBED Equation.3 est constant en module, direction et sens. Si le champ de pesanteur EMBED Equation.3 nest pas constant, le centre de gravité dépend de la position et de lorientation du solide.
La 3e loi : principe des actions réciproques
Enoncé :
Lorsque un corps A exerce une force EMBED Equation.3 sur un corps B, ce dernier réagit à son tour en exerçant sur A une force EMBED Equation.3 de même norme, même direction et de sens opposé à EMBED Equation.3 .
Formulation mathématique:
(II.3)
3.Travail Puissance - énergie cinétique
3.1 Notion de travail
Tout comme la notion de force, la notion de travail est dorigine physiologique. Elle est liée à la notion deffet utile des forces sur des corps en mouvement. Il est intuitif que, pour soulever un corps, il faut fournir un travail dautant plus grand que le corps est plus lourd et que lon sélève davantage. La grandeur appelée travail dépend donc de lintensité de la force et du déplacement de son point dapplication.
Mais la direction du déplacement peut être différente de celle de la force. Et lexpérience montre quune force normale à un déplacement rectiligne est pratiquement sans action sur celle-ci. Le travail dépend aussi de langle entre les directions de la force et du déplacement. Ces constatations ont conduit à la définition suivante :
Soit EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 une force agissant sur une particule M (fig. 8), par définition, le travail élémentaire EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 de la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (en mathématique : circulation du vecteur EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ) au cours dun déplacement infinitésimal EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 de la particule, est égale au produit scalaire
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le travail EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 : de la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 le long de la trajectoire de A vers B, est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Deux cas peuvent se présenter :
Le vecteur force nest pas constant. Elle dépend donc des coordonnés du mobile M . Il résulte que si EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 Fx, Fy, Fz sont les projections de la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 sur les axes Ox, Oy, Oz respectivement et dx, dy, dz celles du déplacement EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 que subit le point dapplication M (x, y , z ), le travail élémentaire a pour expression analytique :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Equation.3
Exemple : Cas dun ressort :
EMBED Equation.3
Avec xA et xB les allongements ou raccourcissements du ressort aux points A et B respectivement
Le vecteur force est constant. On a :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
¸
A B
où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.4)
on en déduit que : le travail est positif ou moteur si langle EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est aigu ; il est négatif ou résistant si EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est obtu. Il est nul dans les trois cas suivants :
la force est nulle : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
la particule est fixe : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
les directions de la force et du déplacement sont perpendiculaires : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Lorsque le point dapplication de la force a lieu sur un contour fermé, on note :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.7)
3.2. Puissance
Lexpression de la puissance dune force EMBED Equation.3 sexerçant sur un corps en mouvement de translation est :
EMBED Equation.3
Avec EMBED Equation.3 , vecteur vitesse du corps soumis à la force EMBED Equation.3
Pour un corps soumis à un mouvement de rotation, on a :
EMBED Equation.3 où EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire et l la longueur de O à M
EMBED Equation.3 , où EMBED Equation.3 est un vecteur unitaire orthogonal à EMBED Equation.3 et © la vitesse angulaire
EMBED Equation.3
Avec EMBED Equation.3 moment de la Force EMBED Equation.3
3.3. Energie cinétique
Soient une particule de masse m se déplaçant sous l action de forces de résultante EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 , M sa position à linstant t et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 le déplacement de cette particule pendant le temps dt :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le travail de la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 pendant le temps dt est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 9)
Mais EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 10)
Par suite : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 11)
On appelle énergie cinétique de la particule, la quantité :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 12)
La relation précédente montre que cette grandeur représente une forme dénergie mécanique caractéristique des corps en mouvement.
Evaluons le travail de la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 au cours dun déplacement amenant la particule dun point A à un point B. Soient VA et VB la vitesse de la particule en ces points. On a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 13)
Soit : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II. 14)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 désignant respectivement lénergie cinétique de la particule aux points A et B.
Les relations (II. 13) et (II. 14) traduisent le théorème de lénergie cinétique que lon énonce ainsi :
La variation de lénergie cinétique dune particule au cours dun déplacement quelconque est égale au travail de la résultante des forces appliquées à la particule.
On appelle force vive dune particule, le produit mv2 de sa masse par le carré de sa vitesse. Doù le nom de théorème des forces vives que lon donne souvent à lénoncé précédent. Certains auteurs appelle abusivement force vive la quantité EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 , cest-à-dire lénergie cinétique. Il vaut mieux employer cette dernière expression qui évite toute confusion.
4. Energie potentielle et énergie mécanique
4.1. Forces conservatives
Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point dapplication. Si ce nest pas le cas elle est alors non-conservative
Exemples de forces conservatives :
la force électrique qui dérive du potentiel électrique
la force gravitationnelle (exemple du poids dun corps) qui dérive dun potentiel de gravitation
la force élastique qui dérive du potentiel élastique
Exemples de forces non-conservatives
La force de Lorentz qui ne travaille pas
Les forces de frottement
Les forces de pression
Les forces conservatives possèdent trois propriétés remarquables :
4.1.1. Le travail ne dépend pas du chemin suivi
Soit un corps sur lequel sur lequel sexerce une force EMBED Equation.3 en le déplaçant dun point A vers un point B :
A
EMBED Equation.3
C1 C2
B
Ainsi pour deux trajectoire C1 et C2 reliant le point A au point B, la force fournit le même travail. On en déduit que le long dun circuit fermé, le travail dune force conservative est nul.
4.1.2. Existence dun potentiel de la force conservative
On considère une force conservative qui est une fonction des coordonnées de la position de son point dapplication :
EMBED Equation.3
On voit que son travail est nul suivant la trajectoire fermée C. On en déduit daprès le théorème de Stokes que :
EMBED Equation.3
Cette dernière relation implique lexistence dun champ scalaire EMBED Equation.3 tel que :
EMBED Equation.3
Le champ U est appelé potentiel de la force et est homogène à une énergie. Elle est définie à une constante additive près.
4.1.3. Conservation de lénergie mécanique
Les forces conservatives sont appelées ainsi parce que lénergie mécanique dun système soumis à laction de forces conservatives est constante : lénergie mécanique du système se conserve.
Or EMBED Equation.3
Daprès le théorème de lénergie cinétique, on a :
EMBED Equation.3
En combinant les deux équations précédentes, on a :
EMBED Equation.3
On remarque donc que la somme de lénergie cinétique et du potentiel se conserve. Cette quantité est appelée énergie mécanique du système. Lexpression ci-dessus montre clairement que lénergie totale se répartit entre lénergie cinétique et le potentiel, et peut donc passer successivement de lune à lautre. Cest pourquoi le potentiel U est aussi appelé énergie potentiel : cest de lénergie qui peut potentiellement se transformer en énergie cinétique.
4.2. Energie potentielle
Supposons que la force F qui sexerce sur une particule ne dépende que de la position de M de cette particule.
A chaque point M correspond donc un vecteur force, ce qui constitue un champ de forces.
Dans le cas général, le travail effectué par la force F lorsque la particule se déplace dun point O à un point M dépend de la trajectoire suivie pour aller de O en M. Cependant, dans certains cas particuliers importants, le travail de est indépendant du chemin suivi et ne dépend que de la position initiale O et de la position finale M. On peut donc associer à chacun de ces points un nombre Ep(O) et Ep(M) tel que :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.15)
Supposons le point O fixe et prenons ce point comme origine des déplacements. On peut alors poser :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.16)
à une constante additive près égale à Ep(O).
La relation (II.16) définit une fonction Ep du point, dépendant uniquement de la position de lextrémité M, lorigine O étant fixée.
Ep est appelée fonction énergie potentielle.
Le travail de la force F au cours dun déplacement MM quelconque peut sécrire :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.17)
Soit en tenant compte de ( II.16 ) :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.18)
Ep désignant la variation de la fonction Ep
En particulier, pour un déplacement infinitésimal : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
On a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.19)
Le travail élémentaire est une différentielle totale. On en déduit, par définition du vecteur gradient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.20)
Légalité (II.20) étant vérifiée en tout point M de lespace, on dit que la force F dérive dune fonction énergie potentielle Ep ou que le champ de force F est conservatif.
Réciproquement, si la force F qui sexerce sur une particule en chaque point M de lespace dérive dune fonction énergie potentielle, le travail élémentaire EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 de cette force au cours dun déplacement infinitésimal EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est une différentielle totale. Le travail de F au cours dun déplacement fini allant dun point A à un point B ne dépend alors que de ces points :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.21)
Daprès (II.16), la quantité Ep(M) est égale au travail de la force F appliquée à la particule le long du trajet allant de lorigine O au point M. La quantité Ep(M) représente donc lénergie dépensée par la force -F (force équilibrant à chaque instant F ) pour amener la particule de lorigine O au point M. Il sagit là dune forme dénergie mécanique dépendant de la position de la particule, et qui est potentiellement disponible, car si on laisse la particule revenir de M en O, on récupérera une quantité dénergie égale Ep(M). On lappelle énergie potentielle de la particule au point M.
Notons que lénergie potentielle en un point M dune particule nest complètement définie que moyennant le choix dune origine. Ce choix qui est arbitraire, se traduit par une constante additive dépendant de lorigine adoptée pour lénergie potentielle. Ainsi, si au lieu de O, nous prenons comme origine un autre point O de la trajectoire, nous aurons en désignant par Ep(M) la nouvelle énergie potentielle de la particule au point M :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 en vertu de (II.16) (II.22)
Mais :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.23)
Ce qui sécrit encore :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.24)
Où
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.25)
La nouvelle énergie potentielle Ep(M) est donc égale à lancienne Ep(M) à une constante additive près.
4.3. Energie mécanique
Supposons quune particule de masse m en mouvement, soit soumise à une force F (M) dérivant dune fonction énergie potentielle Ep. Le travail élémentaire de cette force au cours dun déplacement infinitésimal dM est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.26)
Mais daprès le théorème de lénergie cinétique :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.27)
Par suite on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.28)
On en déduit par intégration :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.29)
La quantité :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.30)
Représente lénergie mécanique totale de la particule.
La relation (II.29) signifie que pour une particule soumise uniquement à une force dérivant dune fonction énergie potentielle, lénergie mécanique totale de cette particule est une constante du mouvement, cest-à-dire quelle se conserve.
Il y a donc seulement transformation de la forme cinétique à la forme potentielle et vis versa, la somme restant constante.
Dans le cas de la force de pesanteur, on a : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
La relation (II.29) exprimant la conservation de lénergie mécanique totale sécrit :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.31)
Soit, pour un parcours fini allant de A en B :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.32)
Supposons maintenant quen plus de la force F dérivant de lénergie potentielle Ep, la particule soit soumise à dautres forces effectuant un travail W. Lapplication du théorème de lénergie cinétique donne, pour un déplacement infinitésimal de la particule :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.33)
Soit, pour un déplacement fini amenant la particule dun point A à un point B :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.34)
On en déduit :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
(II.35)
Le travail des forces autres que celles dérivant de lénergie potentielle Ep est donc égal à la variation de lénergie mécanique totale de la particule.
5. Moments linéaire et chocs
5.1 Définitions
On appelle quantité de mouvement ou moment linéaire la grandeur vectorielle EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 qui est le produit de la masse et du vecteur-vitesse EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 de la particule.
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.36)
En dérivant cette relation par rapport au temps t, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.37)
où la masse EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 étant une constante en mécanique classique
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.38)
Lexpression précédente traduit le principe fondamental de la dynamique. On peut lécrire ainsi :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.39)
On appelle impulsion, lintégrale de la force pendant la durée daction de cette force. Elle est notée EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Limpulsion dune force se définit aussi comme la variation de la quantité de mouvement engendrée par cette force.
5.2. La loi de conservation de la quantité de mouvement
Lorsque deux particules A et B de quantités de mouvement EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ne sont soumise quaux forces quelles exercent lune sur lautre, elles forment un système isolé. La loi fondamentale régissant le mouvement de ces systèmes isolés est la conservation de la quantité de mouvement totale, soit
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.40)
donc EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.41)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est par définition la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 que B exerce sur A, de même que EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est la force EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 que A exerce sur B ; donc :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.42)
Le principe de conservation de la quantité de mouvement est identique au principe de légalité de laction et de la réaction.
Si les quantités de mouvement sont EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 avant le choc, EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 après le choc, on a la relation fondamentale :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.43)
soit aussi EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.44)
Le choc de deux billes ou le passage de deux particules au voisinage lune de lautre saccompagne dun échange de quantité de mouvement.
La loi de conservation de la quantité de mouvement est extrêmement générale et valable aussi bien lorsque les particules sont les mêmes après et avant le choc :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.45)
ou lorsque leur choc donne naissance à deux nouvelles particules de masses EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.47)
5.3. Applications aux collisions
Conservation de lénergie
Désignons respectivement par Ec1 et Ec2, lénergie cinétique des particules M1 et M2 et appliquons à ces particules le théorème des forces vives :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.48)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.49)
Soient Ec = Ec1 +Ec2 lénergie cinétique totale avant le choc et Ec lénergie cinétique totale du système après le choc.
Si linteraction des deux particules est nulle avant le choc (instant t1) et de nouveau nulle après le choc (instant t2), le travail dinteraction au cours de la collision est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.50)
Deux cas sont théoriquement possibles suivant la valeur de W:
W = 0 : le travail des forces dinteraction est nul ; le choc est dit élastique. On a daprès (II.50)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.51)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.52)
Lénergie cinétique totale du système est la même avant et après le choc :
W `" 0 .Le travail des forces d interaction n est pas nul ; l énergie cinétique totale n est plus conservée après le choc.
Dans ce dernier cas, l interaction étant nulle après le choc, on peut se demander ce qu est devenue l énergie W. Le système étant isolé, par définition, il néchange aucune sorte dénergie avec le milieu extérieur, lénergie West donc nécessairement stockée dans les particules elle-même. Il en résulte quun choc inélastique nest possible quentre des corps susceptibles dabsorber ou de fournir de lénergie. Lénergie W est donc transformée en énergie interne des particules après la collision. Le plus souvent, cette énergie se manifeste par la déformation des corps qui se heurtent. Le choc est dit mou ou inélastique
Chocs parfaitement élastiques
Les lois de conservation de la quantité de mouvement et de lénergie sappliquent :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.53)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.54)
On a donc deux équations permettant de déterminer, dans chaque cas concret, les vitesses EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 .
Dans le référentiel de laboratoire (fixe), on a :
Le centre de masse dun système de points matériels Mi de masse constante mi est définit par :
EMBED Equation.3
Pour un système de deux particules, léquation devient : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Dans le référentiel de Laboratoire qui est galiléen, les particules en interaction ne sont soumises à aucune force extérieure. Le mouvement du centre de masse (centre dinertie) est donc rectiligne et uniforme. On comprend donc pourquoi la vitesse du centre de masse G du système est la même avant et après le choc.
Dans le référentiel du centre de masse (RG), la loi de composition des vitesses donne :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.55)
Où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est la vitesse constante du centre de masse. La loi de conservation de la quantité de mouvement devient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.56)
Où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est le vecteur-quantité de mouvement relative. En introduisant ce vecteur, lavant dernière relation devient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.57)
Lénergie cinétique totale du système est donc :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.58)
Ou simplement :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.59)
En posant :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.60)
La quantité EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ainsi définie est appelée masse réduite du système.
Puisque EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est constant, la conservation de lénergie cinétique totale exige que le module de EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 soit constant.
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 étant le module du vecteur quantité de mouvement relative après le choc :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.61)
Par suite, au cours dun choc parfaitement élastique, le vecteur quantité de mouvement relative au cours du choc dans (RG) peut prendre une direction quelconque, mais son module reste constante. Il en est aussi de la vitesse relative des deux particules, puisque daprès les relations précédentes, on a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.61)
Remarques :
Le centre dinertie G dun corps encore appelé centre de masse, correspond au barycentre des particules qui composent ce corps, chaque particule étant pondérée par sa masse propre. Cest donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Le centre dinertie ne dépend pas de la masse volumique mais de la forme du corps. Une propriété étonnante du centre dinertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi quil arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle.
Le centre de gravité dun corps correspond au barycentre des particules qui composent ce corps, chaque particule étant pondérée par son poids propre. Le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité EMBED Equation.3 dans lequel le corps est plongé. Dans une situation théorique où le champ de gravité serait absent, on ne pourrait donc pas le définir. Dans le cas où le poids serait négligeable devant dautres forces, la notion de centre de gravité nest pas pertinente.
Comme on le remarque le centre dinertie et le centre de gravité sont deux points distincts. Toute fois ils sont confondus si le vecteur champ de gravité EMBED Equation.3 est constant. Si le vecteur champ de gravité nest pas constant, le centre de gravité dépend de la position et de lorientation du corps.
Exemple : Choc direct de deux sphères parfaitement élastiques
Soient deux sphères S1 et S2 de masse m1 et m2, dont les centres G1 et G2 décrivent un axe xx, chacune delles étant animée dun mouvement de translation. Les deux sphères se heurtent et possèdent immédiatement avant le choc des vitesses v1 et v2
Proposons-nous de chercher les vitesses v1 et v2 de chaque sphère après le choc, en fonction de m1, m2, v1, v2.
La quantité de mouvement se conserve. On a :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.62)
Et puisque le choc est parfaitement élastique, on a aussi :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.63)
Pour résoudre ces deux équations, par rapport à v1 et v2, il est commode de les écrire sous la forme suivante :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.64)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.65)
En divisant membre à membre, il vient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.66)
Cette nouvelle équation du premier degré peut remplacer léquation du second degré du système précédent. Finalement on est amené à résoudre le système :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.67)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.68
Ce faisant, on trouve :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.69)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.70)
Etude dun cas particulier
Supposons que ce soit la sphère S1 de masse m1 qui vient heurter la sphère S2 de masse m2, supposée initialement immobile. Les formules (II. 69 et II. 70) dans lesquelles nous faisons v2 = 0, deviennent :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.71)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.72)
Trois cas sont à distinguer suivant les valeurs respectives des deux masses m1 et m2.Pour plus de clarté, représentons la plus lourde des deux sphères comme étant en même temps la plus grosse. Considérons de plus v1 comme positif, de sorte que les signes de v1 et v2 nous renseigneront sur le sens des vitesses finales comparé à celui de la sphère S1.
m1 > m2
La sphère percutante est la plus lourde. Daprès les formules (II.71 et 72), on a :
V1 >0 ; v1 v1
Doù la sphère percutant continue son chemin après le choc, son mouvement étant seulement ralenti. La sphère percuté est lancée en avant avec une vitesse supérieure à celle qavait la sphère percutante en arrivant sur elle.
m1 < m2
La sphère percutante est plus légère. Daprès les formules (II.71 et 72 ), on a :
v1 < 0 ;v1 < v1 ; v2 > 0 : v2 < v1
La sphère percutante revient en arrière. En valeur absolue sa vitesse est diminuée.
La sphère percutée est lancée en avant avec une vitesse inférieure à celle quavait la sphère percutante avant le choc.
m1 = m2
Les deux sphères sont identiques de même masse : cest le cas des boules de pétanque ou de billard. Alors les formules (II.69 et II.70) donnent :
v1 = 0 ; v2 = v1
La sphère percutante simmobilise. Lautre est lancée avec la vitesse quavait la première à larrivée.
Chocs parfaitement inélastiques
La loi de conservation de la quantité de mouvement est toujours valable :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Or, dans le cas actuel, nous savons que les deux corps saccompagnent après le choc. On a donc :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est la vitesse commune après le choc. Nous en déduisons :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 (II.73)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 nest autre chose que la vitesse EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 du centre de masse du système des deux corps.
Dans le cas concret de lexemple cité plus haut des deux sphères supposés maintenant totalement inélastique, on a , suivant laxe xx :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Remarques : 1) Les valeurs v1 et v2 des vitesses suivant xx sont des valeurs algébriques. En particulier, si les deux sphères arrivent en sens inverses ( v1 et v2 de signes contraires) et si les vitesses sont, en valeur absolue, inversement proportionnelles aux masses de sorte que :
m1v1 +m2v2 = 0,
Alors, on a v = 0.
Les deux sphères s immobilisent après le choc
2) On calcule aisément l énergie cinétique perdue au cours du choc :
W = Ec - E c (II.74)
Cette énergie se retrouve dans lénergie de déformation des deux sphères.
3) Le coefficient de restitution énergétique
Les deux situations décrites ci-dessus représentent des cas extrême : parfaitement élastique et parfaitement inélastique. Il existe un panel dexpériences intermédiaires quun nouveau paramètre va décrire. Ce paramètre est associé à lénergie cinétique. On lappelle coefficient de restitution énergétique ou degré délasticité dune collision et noté ·.
C est le rapport entre la somme des énergies cinétiques finales (après la collision) et les énergies cinétiques initiales (avant la collision) des deux corps lors d une collision.
EMBED Equation.3
Le coefficient de restitution met en évidence l existence de perte d énergie cinétique lors d une collision. En général, on a :
EMBED Equation.3
· = 0, le choc est parfaitement inélastique ou choc mou
· = 1, le choc est parfaitement élastique : la durée d impact des corps est considérée comme nulle
0 1 et EMBED Equation.3
6. Les oscillateurs harmoniques libres à une dimension
A un ressort de constante de raideur k, initialement à vide, accrochons un solide S de masse m. Lorsque lensemble est en équilibre, on tire horizontalement le solide S vers la droite dune valeur x, puis on le lâche sans vitesse initiale.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 x
EMBED Equation.3
Le solide S est soumis à des forces dissipatives (forces de frottement) EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 .
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 est une constante positive. Les frottements sont dus au liquide visqueux se trouvant dans le cylindre.
Appliquons la relation fondamentale de la dynamique au solide S au moment où il est lâché :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Equation différentielle du second ordre à coefficients constants sans second membre.
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Posons : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 et EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Léquation différentielle précédente devient :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Léquation caractéristique de léquation différentielle précédente est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Les solutions de léquation différentielle précédente dépendent du signe du discriminant réduit de léquation caractéristique.
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
6.1. Mouvement oscillatoire pseudo-périodique : cas où EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Posons : EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
La solution générale de léquation différentielle est :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Avec :
A : amplitude du mouvement
Æ : phase du mouvement
Ces deux constantes A et Æ sont déterminées à partir des conditions initiales :
A t = 0 ; EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 ; EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0 : est appelée pseudo-période
La courbe x (t) est enveloppée par les deux exponentielles déquations :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
Le décrément logarithmique
Considérons les élongations x (t) et x (t + T)
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
On appelle décrément logarithmique, la quantité :
EMBED Microsoft Éditeur d'équations 3.0
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