SVM - Georges Gardarin
... Support Vector Machine, Machine à Support de Vecteurs, Oracle Data Mining
... permet d'arriver à des conclusions par l'examen d'exemples particuliers.
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SVM : Machines à Vecteurs de Support
ou Séparateurs à Vastes Marges
Mohamadally Hasan
Fomani Boris
BD Web, ISTY3
Versailles St Quentin, France
hmohamad@isty-info.uvsq.fr
bfomanik@isty-info.uvsq.fr
16 janvier 2006
Résumé : Nous présentons une description dune méthode de classification par apprentissage particulière, les SVM. Etant donné que les algorithmes liés aux SVM sont composés de calculs et de fonctions mathématiques complexes, nous avons décidé de diviser la présentation en différentes parties, une destinée à un large public où nous décrivons de façon simple et assez complète les principes de fonctionnement et une destinée à un public plus ciblé où nous décrivons en détails laspect mathématiques des SVM. Nous intéressons aussi aux différents domaines dapplication et nous insistons sur lutilisation des machines à supports de vecteurs dans Oracle.
Mots-clés : Apprentissage supervisé, Induction, Classification, Séparateur à Vaste Marge, Support Vector Machine, Machine à Support de Vecteurs, Oracle Data Mining
Structure : Dans la section 1, nous présentons les SVM et nous effectuons un rappel sur la notion dapprentissage. Ensuite dans la section 2, nous décrivons de manière générale le principe de fonctionnement des SVM. Les fondements mathématiques sont détaillés dans la section 3. Dans la section 4, nous nous intéressons aux différents domaines dapplications des SVM. Nous finissons par une présentation de limplémentation de SVM dans Oracle dans la section 5
Introduction
Parmi les méthodes à noyaux, inspirées de la théorie statistique de lapprentissage de Vladimir Vapnik, les SVM constituent la forme la plus connue. SVM est une méthode de classification binaire par apprentissage supervisé, elle fut introduite par Vapnik en 1995. Cette méthode est donc une alternative récente pour la classification. Cette méthode repose sur lexistence dun classificateur linéaire dans un espace approprié. Puisque cest un problème de classification à deux classes, cette méthode fait appel à un jeu de données d'apprentissage pour apprendre les paramètres du modèle. Elle est basée sur l'utilisation de fonction dites noyau (kernel) qui permettent une séparation optimale des données.
Dans la présentation des principes de fonctionnements, nous schématiserons les données par des « points » dans un plan.
La notion dapprentissage étant importante, nous allons commencer par effectuer un rappel. Lapprentissage par induction permet d'arriver à des conclusions par l'examen d'exemples particuliers. Il se divise en apprentissage supervisé et non supervisé. Le cas qui concerne les SVM est lapprentissage supervisé. Les exemples particuliers sont représentés par un ensemble de couples d'entrée/sortie. Le but est dapprendre une fonction qui correspond aux exemples vus et qui prédit les sorties pour les entrées qui n'ont pas encore été vues. Les entrées peuvent être des descriptions d'objets et les sorties la classe des objets donnés en entrée.
SVM principe de fonctionnement général
Notions de base : Hyperplan, marge et support vecteur
Pour deux classes dexemples donnés, le but de SVM est de trouver un classificateur qui va séparer les données et maximiser la distance entre ces deux classes. Avec SVM, ce classificateur est un classificateur linéaire appelé hyperplan.
Dans le schéma qui suit, on détermine un hyperplan qui sépare les deux ensembles de points.
Les points les plus proches, qui seuls sont utilisés pour la détermination de lhyperplan, sont appelés vecteurs de support.
Il est évident quil existe une multitude dhyperplan valide mais la propriété remarquable des SVM est que cet hyperplan doit être optimal. Nous allons donc en plus chercher parmi les hyperplans valides, celui qui passe « au milieu » des points des deux classes dexemples. Intuitivement, cela revient à chercher lhyperplan le « plus sûr ». En effet, supposons quun exemple nait pas été décrit parfaitement, une petite variation ne modifiera pas sa classification si sa distance à lhyperplan est grande. Formellement, cela revient à chercher un hyperplan dont la distance minimale aux exemples dapprentissage est maximale. On appelle cette distance « marge » entre lhyperplan et les exemples. Lhyperplan séparateur optimal est celui qui maximise la marge. Comme on cherche à maximiser cette marge, on parlera de séparateurs à vaste marge.
Pourquoi maximiser la marge ?
Intuitivement, le fait d'avoir une marge plus large procure plus de sécurité lorsque l'on classe un nouvel exemple. De plus, si lon trouve le classificateur qui se comporte le mieux vis-à-vis des données d'apprentissage, il est clair quil sera aussi celui qui permettra au mieux de classer les nouveaux exemples. Dans le schéma qui suit, la partie droite nous montre qu'avec un hyperplan optimal, un nouvel exemple reste bien classé alors qu'il tombe dans la marge. On constate sur la partie gauche qu'avec une plus petite marge, l'exemple se voit mal classé.
En général, la classification dun nouvel exemple inconnu est donnée par sa position par rapport à l'hyperplan optimal. Dans le schéma suivant, le nouvel élément sera classé dans la catégorie des « + ».
Linéarité et non-linéarité
Parmi les modèles des SVM, on constate les cas linéairement séparable et les cas non linéairement séparable. Les premiers sont les plus simple de SVM car ils permettent de trouver facilement le classificateur linéaire. Dans la plupart des problèmes réels il ny a pas de séparation linéaire possible entre les données, le classificateur de marge maximale ne peut pas être utilisé car il fonctionne seulement si les classes de données dapprentissage sont linéairement séparables.
Cas non linéaire
Pour surmonter les inconvénients des cas non linéairement séparable, lidée des SVM est de changer lespace des données. La transformation non linéaire des données peut permettre une séparation linéaire des exemples dans un nouvel espace. On va donc avoir un changement de dimension. Cette nouvelle dimension est appelé « espace de re-description ». En effet, intuitivement, plus la dimension de lespace de re-description est grande, plus la probabilité de pouvoir trouver un hyperplan séparateur entre les exemples est élevée. Ceci est illustré par le schéma suivant :
On a donc une transformation dun problème de séparation non linéaire dans lespace de représentation en un problème de séparation linéaire dans un espace de re-description de plus grande dimension. Cette transformation non linéaire est réalisée via une fonction noyau. En pratique, quelques familles de fonctions noyau paramétrables sont connues et il revient à lutilisateur de SVM deffectuer des test pour déterminer celle qui convient le mieux pour son application. On peut citer les exemples de noyaux suivants : polynomiale, gaussien, sigmoïde et laplacien.
Illustration de transformation de cas non linéaire : le cas XOR
Le cas de XOR nest pas linéairement séparable, si on place les points dans un plan à deux dimension, on obtient la figure suivante
Coordonnées des points : (0,0) ; (0,1) ; (1,0) ; (1,1)
Si on prend une fonction polynomiale (x , y) -> (x , y , x.y) qui fait passer d'un espace de dimension 2 à un espace de dimension 3, on obtient un problème en trois dimensions linéairement séparable :
(0,0) -> (0,0,0)
(0,1) -> (0,1,0)
(1,0) -> (1,0,0)
(1,1) -> (1,1,1)
Fondements mathématiques
Nous allons détailler dans les paragraphes ci-dessous les principas mathématiques sur lesquels repose SVM.
Problème d'apprentissage
On s'intéresse à un phénomène f (éventuellement non déterministe) qui, à partir d'un certain jeu d'entrées x, produit une sortie y = f(x).
Le but est de retrouver cette fonction f à partir de la seule observation d'un certain nombre de couples entrée-sortie {(xi; yi) : i = 1, .. , n} afin de « prédire » dautres évènements.
On considère un couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs dans X x Y.
Seul le cas Y = {-1, 1} (classification) nous intéresse ici (on peut facilement étendre au cas card(Y) = m > 2 et au cas Y = ). La distribution jointe de (X, Y ) est inconnue.
Sachant quon observe un échantillon S = {(X1, Y1),... ,(Xn, Yn)} de n copies indépendantes de (X, Y ), on veut: construire une fonction h : X ! Y telle que P(h(X) != Y ) soit minimale.
Illustration :
Trouver une frontière de décision qui sépare l'espace en deux régions (pas forcément connexes).
Sur et sous-apprentissage :
Classification à valeurs réelles
Plutôt que de construire directement h : X! {-1, 1}, on construit :
f : X!R (ensemble des réels).
La classe est donnée par le signe de f ;
h = signe(f) .
L'erreur se calcule avec P(h(X) != Y ) = P(Yf(X) d"0). Ceci donne une certaine idée de la confiance dans la classification. Idéalement, |Yf(X)| est proportionnel à P(Y|X).
Yf(X) représente la marge de f en (X,Y).
Le but à atteindre est la construction de f et donc h. Nous allons voir comment y parvenir.
Transformation des entrées
Il est peut être nécéssaire de transformer les entrées dans le but de les traiter plus facilement.
X est un espace quelconque d'objets.
On transforme les entrées en vecteurs dans un espace F (feature space) par une fonction :
¦ : X ! F
F n'est pas nécessairement de dimension finie mais dispose d'un produit scalaire (espace de Hilbert). L espace de Hilbert est une généralisation de l espace euclidien qui peut avoir un nombre infini de dimensions.
La non-linéarité est traitée dans cette transformation, on peut donc choisir une séparation linéaire (on verra plus loin comment on arrive à ramener un problème non linéaire en un problème linéaire classique).
Dès lors, il sagit de choisir lhyperplan optimal qui classifie correctement les données (lorsque c'est possible) et qui se trouve le plus loin possible de tous les points à classer.
Mais lhyperplan séparateur choisi devra avoir une marge maximale.
Maximisation de la marge
La marge est la distance du point le plus proche à l'hyperplan.
Dans un modèle linéaire (cf. figure ci-dessus), on a f(x) = w.x + b. L'hyperplan séparateur(frontière de décision) a donc pour équation w.x + b = 0.
La distance d'un point au plan est donnée par d(x) = |w.x + b|/||w||
Lhyperplan optimal est celui pour lequel la distance aux points les plus proches (marge) est maximale. Soient x1 et x2 eux points de classes différentes (f(x1) = +1 et f(x2) = -1)
(w.x1) + b = +1 et (w.x2) + b = -1 donc (w.(x1 - x2)) = 2
Doù : (w/||w|| . (x1 - x2)) = 2/||w||.
On peut donc en déduire que maximiser la marge revient à minimiser ||w|| sous certaines contraintes que nous verrons dans les paragraphes suivants.
Problème primal
Un point (x; y) est bien classé si et seulement si yf(x) > 0
Comme le couple (w, b) est défini à un coefficient multiplicatif près, on s'impose yf(x) e" 1
On en déduit (en s appuyant également sur le paragraphe précédent), le problème de minimisation sous contraintes suivantes :
Il peut etre en effet plus aisé de minimiser ||w||² plutot que directement ||w||.
Problème dual
On passe du problème primal au problème dual en introduisant des multiplicateurs de Lagrange pour chaque contrainte.
Ici on a une contrainte par exemple d'apprentissage
Cest un problème de programmation quadratique de dimension n (nombre d'exemples).
On défini ainsi la matrice suivante appelée « matrice hessienne » : (xi.xj)i,j qui représente la matrice des produits des entrées X (La notation matricielle permettant de résoudre plus facilement le problème en informatique).
On montre que si les sont solutions de ce problème alors on a :
Seuls les correspondant aux points les plus proches sont non-nuls. On parle de vecteurs de support.
La fonction de décision associée est donc :
Il existe néanmoins des cas où on ne peut pas classer les entrées de façon linéaire.
La non linéarité (cas non séparable/ marge molle)
On part du problème primal linéaire et on introduit des variables « ressort » pour assouplir les contraintes.
On pénalise par le dépassement de la contrainte.
On en déduit le problème dual qui a la même forme que dans le cas séparable:
La seule différence est la borne supérieure C sur les ±.
Fonction noyau (kern)
Dans le cas linéaire, on pouvait transformer les données dans un espace où la classification serait plus aisée. Dans ce cas, lespace de redescription utilisé le plus souvent est R (ensemble des nombres réels). Il se trouve que pour des cas non linéaires, cet espace ne suffit pas pour classer les entrées. On passe donc dans un espace de grande dimension.
Avec card(F) > d.
Exemple :
Le passage dans rend possible la séparation linéaire des données.
On doit donc résoudre
et la solution a la forme
Le problème et sa solution ne dépendent que du produit scalaire ¦(x).¦(x ).
Plutôt que de choisir la transformation non-linéaire ¦ : X!F, on choisit une fonction k :XxX! R (nombres réels) appelée fonction noyau.
Elle représente un produit scalaire dans l'espace de représentation intermédiaire. Du coup k est linéaire (ce qui nous permet de faire le rapprochement avec le cas linéaire des paragraphes précédents).
Cette fonction traduit donc la répartition des exemples dans cet espace k(x,x ) = ¦(x).¦(x ).
Lorsque k est bien choisie, on n'a pas besoin de calculer la représentation des exemples dans cet espace pour calculer ¦.
Exemple :
Soit .
Dans l'espace intermédiaire, le produit scalaire donne
On peut donc calculer ¦(x).¦(x ) sans calculer ¦ : k(x,x )=(x.x )².
k représentera donc le noyau pour les entrées correspondantes mais devra néanmoins remplir certaines conditions.
Condition de Mercer
Une fonction k symétrique est un noyau si (k(xi,xj))i,j est une matrice définie positive.
(cf: HYPERLINK "http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5188" http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5188).
Dans ce cas, il existe un espace F et une fonction ¦ tels que k(x,x ) = ¦(x).¦(x ).
Problèmes :
Cette condition est très difficile à vérifier
Elle donne pas d'indication pour la construction de noyaux
Elle ne permet pas de savoir comment est ¦
En pratique, on combine des noyaux simples pour en obtenir de plus complexes.
Exemples de noyaux :
Linéaire
Polynomial
Gaussien
Laplacien
Petite étude comparative des noyaux polynomial et gaussien
Soient les données dapprentissage suivantes :
On réalise la simulation suivante en ajoutant des données à classer et en utilisant un noyau polynomial et un noyau gaussien. On fixe dans les deux cas la constante C à 10000
La distribution initiale est la suivante : 47 données dapprentissage (22+ et 25 -). En bleu les données de classe + et en jaune celles de classe -.
SHAPE \* MERGEFORMAT
On remarque en général le noyau gaussien donne de meilleurs résultats et groupe les données dans des paquets nets.
Temps de calcul et convergence
Complexité
Nous allons évaluer la complexité(temps de calcul) de lalgorithme SVM.
Elle ne dépend que du nombre des entrées à classer (d) et du nombre de données dapprentissage (n).
On montre que cette complexité est polynomiale en n.
Taille de la matrice hessienne = n²
En effet, on doit au moins parcourir tous les éléments de la matrice ainsi que toutes les entrées..
Pour un très grand nombre de données dapprentissage, le temps de calcul explose. Cest pourquoi les SVMs sont pratiques pour des « petits » problèmes de classification.
Pourquoi SVM marche ?
Les noyaux précédents qui sont les plus utilisés, remplissent les conditions de mercer (facile à vérifier une fois quon a le noyau).
d
Normalement, la classe (le nombre) des hyperplans de est de dH = d + 1.
Mais la classe des hyperplans de marge 1/||w|| tels que ||w||² d" c est bornée par : dH d" Min (R² c, d) + 1
Où R est le rayon de la plus petite sphère englobant l'échantillon d'apprentissage S
Donc dH peut être beaucoup plus petit que la dimension d de l'espace d'entrée X ; il est donc toujours possible den trouver un cest la raison poue laquelle.
Les domaines dapplications
SVM est une méthode de classification qui montre de bonnes performances dans la résolution de problèmes variés. Cette méthode a montré son efficacité dans de nombreux domaines dapplications tels que le traitement dimage, la catégorisation de textes ou le diagnostiques médicales et ce même sur des ensembles de données de très grandes dimensions
La réalisation dun programme dapprentissage par SVM se ramène à résoudre un problème doptimisation impliquant un système de résolution dans un espace de dimension conséquente. Lutilisation de ces programmes revient surtout à sélectionner une bonne famille de fonctions noyau et à régler les paramètres de ces fonctions . Ces choix sont le plus souvent faits par une technique de validation croisée, dans laquelle on estime la performance du système en la mesurant sur des exemples nayant pas été utilisés en cours dapprentissage. Lidée est de chercher les paramètres permettant dobtenir la performance maximale. Si la mise en oeuvre dun algorithme de SVM est en général peu coûteuse en temps, il faut cependant compter que la recherche des meilleurs paramètres peut requérir des phases de test assez longues.
SVM dans Oracle (ODM : Oracle Data Mining)
Comme on la vu précédemment, SVM est une technologie assez performante pour classifier un ensemble de points et donc pour faire du datamining. De plus SVM peut être appliqué à plusieurs domaines (bioinformatique pour la reconnaissance de gènes, etc..). Lintroduction des SVM dans les années 1990 dans certaines applications a érigé cette technique de classification au rang doutil standard pour lapprentissage et le datamining.
Ce sont les raisons pour lesquelles Oracle la intégré dans sa version 10g.
Spécificités de SVM dans oracle 10g
Les fonctionnalités suivantes ont été ajoutées à SVM dans oracle 10g :
Détection danomalies (Anomaly detection)
Elle consiste en lidentification déchantillons anormaux. Un modèle de détection danomalies prédit si un point convient à la distribution ou non. Si ce nest pas le cas, ce point peut être défini comme un outlier ou juste comme le point dune classe qui na pas encore été déterminée.
La détection danomalie est une fonction de mining dans l « oracle data miner interface » et un modèle de classification dans les interfaces ODM java et PL/SQL.
Lapprentissage actif (Active learning)
Les modèles dapprentissage actif augmentent en même temps que la taille des données . Cette propriété fait quon va se limiter à relativement peu de données dentraînements (100.000 au maximum).
Le critère ici est la limite du nombre des vecteurs de support. Une fois cette limite atteinte, la construction sarrête. En fait ceci est pertinent dans la mesure où au delà de cette limite, les performances sont quasi inchangées.
Lapprentissage actif force lalgorithme SVM à se restreindre aux données qui apportent plus dinformation (les plus intéressantes).
Cette option peut être appliquée à tous les modèle SVM (classification, régression et « one-class » ) et peut être désactivée.
Echantillonage et choix du noyau
Pour la classification, SVM fait des couches déchantillons durant la construction du modèle. Lalgorithme parcourt lensemble des données construites et sélectionne un échantillon qui est réglé par rapport aux données cibles.
Oracle 10g implémente deux type de noyaux : linéaire et gaussien. Le choix du noyau est faite de façon automatique ou manuelle.
Le package DBMS_DATA_MINING et SVM
DBMS_DATA_MINING est le package dédié au datamining pour des applications Pl/sql.
Le tableau ci-dessous décrits les variables nécessaires à lexécution de lalgorithme SVM.
NomDescriptionsvms_kernel_functionType de noyau :
svms_linear (pour noyau linéaire)
svms_gaussian (pour noyau gaussien)
La valeur par défaut est : svms_linearsvms_kernel_cache_sizeTO_CHAR(numeric_expr > 0)
Valeur de la taille du cache pour lexécution de lalgorithme. Elle concerne uniquement les noyaux gaussiens.
La valeur par défaut est : 50000000 bytessvms_conv_toleranceTO_CHAR(numeric_expr > 0)
Tolérance de convergence pour lalgorithme
La valeur par défaut est : 0.001.svms_std_devTO_CHAR(numeric_expr > 0)
Valeur de la deviation standard.
Conerne uniquement les noyaux gaussiens.
La valeur par défaut est estimée par lalgo en fonction des données.svms_complexity_factorTO_CHAR(numeric_expr > 0)
Valeur du facteur de complexité .
La valeur par défaut est estimée par lalgo en fonction des données.svms_epsilonTO_CHAR(numeric_expr > 0)
Valeur du facteur epsilon pour lalgorithme de régression par SVM.
La valeur par défaut est estimée par lalgo en fonction des données.
Arbres de décision vs SVM
Nous allons ici présenter une étude comparative entre lalgorithme de classification SVM (avec un noyau gaussien) et celui des arbres de décision (A.D) tous deux implémentés par oracle sur deux cas pratiques.
Cette étude a été réalisée par le département informatique des sciences et statistiques de luniversité de Rhode Island.
Cancer du poumon dans le Wisconsin
Ce test a été réalisé sur 645 enregistrements de patients dont 512 ont été utilisées comme données dentraînement et les 133 autres comme données test (données à prédire).
Les attributs sont définis de la manière suivante :
Sample code number: id number
Clump Thickness: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Uniformity of Cell Size: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Uniformity of Cell Shape: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Marginal Adhesion: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Single Epithelial Cell Size: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Bare Nuclei: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Bland Chromatin: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Normal Nucleoli: 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Mitose: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
On cherche donc à savoir ici si en fonction de ces paramètres (attributs) une tumeur est bénigne ou maligne. Lattribut de prédiction est le suivant :
Class: 2-benign, 4-malignant
Les données sont réparties de la façcon suivante : 65% benign et 35 % malignant
Ils obtiennent les matrices de confusion suivantes :
Remarque :
Voici la configuration initiale des paramètres nécessaires à lexécution de lalgorithme SVM
SVMS_CONV_TOLERANCE = .001
SVMS_KERNEL_CACHE_SIZE = 50000000
SVMS_STD_DEV = 3.7416573867739413
SVMS_COMPLEXITY_FACTOR = 1.1959376673823801
Base de données pour les spams
Chaque tuple représente un email qui peut être considéré comme un Spam ou pas. Les 57 attributs continus de ces tuples décrivent des fréquences des mot et des caractères dans les messages. Ils ont enregistré 4601 tuples dont 39% sont des spams et 61% des e-mails normaux.
C'est un problème binaire de classification où tous les attributs indépendants sont continus. Ils ont pris 3520 tuples pour lapprentissage et 811 pour les tests.
Ils obtiennent les matrices de confusion suivantes :
Remarque :
Voici la configuration initiale des paramètres nécessaires à lexécution de lalgorithme SVM :
SVMS_CONV_TOLERANCE = .001
SVMS_KERNEL_CACHE_SIZE = 50000000
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