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II. Propagation guidée des ondes électromagnétiques.

Équations de Maxwell dans un matériau diélectrique. II.1.b. ... Examen de la densité de charge surfacique des conducteurs. II.5.c. ...... On peut alors en suivant le même raisonnement que précédemment, corriger les équations précédentes :.




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Propagation des ondes électromagnétiques en radioélectricité et guidage des hyperfréquences (micro-ondes).

Table des matières
 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc298872470" Propagation des ondes électromagnétiques en radioélectricité et guidage des hyperfréquences (micro-ondes).  PAGEREF _Toc298872470 \h 0
 HYPERLINK \l "_Toc298872471" Propagation des ondes électromagnétiques en radioélectricité et guidage des hyperfréquences (micro-ondes).  PAGEREF _Toc298872471 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc298872472" I. Introduction  PAGEREF _Toc298872472 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc298872473" I.1. Les hyperfréquences ou micro-ondes.  PAGEREF _Toc298872473 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc298872474" I.1.a. Situation dans le spectre électromagnétique  PAGEREF _Toc298872474 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc298872475" I.1.b. Historique :  PAGEREF _Toc298872475 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc298872476" I.1.c. Quelques applications notables :  PAGEREF _Toc298872476 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298872477" I.2. Transmission terrestre. Les lignes et les circuits micro-onde.  PAGEREF _Toc298872477 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc298872478" I.2.a. Les lignes de télécommunication terrestre :  PAGEREF _Toc298872478 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc298872479" I.2.b. La transmission terrestre en espace libre :  PAGEREF _Toc298872479 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298872480" I.3. Transmission spatiale en espace libre.  PAGEREF _Toc298872480 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298872481" I.3.a. La radiodiffusion par satellite  PAGEREF _Toc298872481 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298872482" I.3.b. La radionavigation  PAGEREF _Toc298872482 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc298872483" II. Propagation guidée des ondes électromagnétiques.  PAGEREF _Toc298872483 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298872484" II.1. Introduction.  PAGEREF _Toc298872484 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298872485" II.1.a. Équations de Maxwell dans un matériau diélectrique.  PAGEREF _Toc298872485 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc298872486" II.1.b. Equations de Propagation :  PAGEREF _Toc298872486 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc298872487" II.1.c. Equations de continuité du champ électromagnétique à la surface d’un dioptre.  PAGEREF _Toc298872487 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc298872488" II.2. Guidage sur un plan conducteur parfait.  PAGEREF _Toc298872488 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc298872489" II.2.a. Rappels sur les conducteurs parfaits (type métal).  PAGEREF _Toc298872489 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc298872490" II.2.b. Equations de continuité des champs à l’interface diélectrique/métal.  PAGEREF _Toc298872490 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc298872491" II.2.c. Cas 1 : Onde Transverse électrique (TE). Champ électrique incident perpendiculaire au plan d’incidence (alors le champ magnétique est dans le plan d’incidence).  PAGEREF _Toc298872491 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc298872492" II.2.d. Cas 2 : Onde Transverse Magnétique (TM). Champ magnétique incident perpendiculaire au plan d’incidence (alors le champ électrique est dans le plan d’incidence).  PAGEREF _Toc298872492 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc298872493" II.2.e. Quelques remarques et grandeurs utiles généralisables aux deux cas considérés (TE et TM) :  PAGEREF _Toc298872493 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc298872494" II.3. Guidage par deux plans conducteurs parallèles.  PAGEREF _Toc298872494 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc298872495" II.3.a. Approche empirique  PAGEREF _Toc298872495 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc298872496" II.3.b. Condition nécessaire pour qu’il y ait propagation :  PAGEREF _Toc298872496 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc298872497" II.4. Propagation dans un guide d’onde rectangulaire.  PAGEREF _Toc298872497 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc298872498" II.4.a. Approche empirique.  PAGEREF _Toc298872498 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc298872499" II.4.b. Conséquences des conditions aux limites pour le champ électrique.  PAGEREF _Toc298872499 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc298872500" II.4.c. Généralisation aux modes TEmn (TMmn).  PAGEREF _Toc298872500 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc298872501" II.5. Propagation du mode fondamental TE10  PAGEREF _Toc298872501 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc298872502" II.5.a. Nouvelle écriture des champs résultants.  PAGEREF _Toc298872502 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc298872503" II.5.b. Examen de la densité de charge surfacique des conducteurs.  PAGEREF _Toc298872503 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc298872504" II.5.c. Fréquence de coupure minimum.  PAGEREF _Toc298872504 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc298872505" II.5.d. Vitesse de phase, vitesse de groupe.  PAGEREF _Toc298872505 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc298872506" II.5.e. Bilan énergétique.  PAGEREF _Toc298872506 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc298872507" II.6. Propagation des modes TEmn  PAGEREF _Toc298872507 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc298872508" II.6.a. Méthode générale.  PAGEREF _Toc298872508 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc298872509" II.6.b. Equations différentielles couplées.  PAGEREF _Toc298872509 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc298872510" II.6.c. Equation différentielle pour Hz.  PAGEREF _Toc298872510 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc298872511" II.6.d. Méthode de séparation des variables.  PAGEREF _Toc298872511 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc298872512" II.6.e. Expression des autres composantes des champs.  PAGEREF _Toc298872512 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc298872513" II.6.f. Conditions aux limites pour le guide d’onde rectangulaire.  PAGEREF _Toc298872513 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc298872514" II.6.g. Expression des champs électrique et magnétique.  PAGEREF _Toc298872514 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc298872515" II.7. Guidage en mode TEM. Introduction des lignes à constantes réparties.  PAGEREF _Toc298872515 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc298872516" II.7.a. Modes TEM :  PAGEREF _Toc298872516 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc298872517" II.7.b. Condition d’existence de la notion de tension.  PAGEREF _Toc298872517 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc298872518" II.7.c. Onde de courant dans une ligne coaxiale. Propagation en mode TEM.  PAGEREF _Toc298872518 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc298872519" III. Propagation en hyperfréquence sur une ligne de transmission à constantes réparties.  PAGEREF _Toc298872519 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc298872520" III.1. Etude électrocinétique locale.  PAGEREF _Toc298872520 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc298872521" III.1.a. Lien entre l’onde de tension et l’onde d’intensité. Equation différentielle des télégraphistes.  PAGEREF _Toc298872521 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc298872522" III.2. Application aux signaux sinusoïdaux : Transmission en régime harmonique.  PAGEREF _Toc298872522 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc298872523" III.2.a. Etude des solutions : Réflexion en bout de ligne alimentée par un signal sinusoïdal.  PAGEREF _Toc298872523 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc298872524" III.2.b. Utilisation de l’Abaque de Smith.  PAGEREF _Toc298872524 \h 43





Propagation des ondes électromagnétiques en radioélectricité et guidage des hyperfréquences (micro-ondes).

Introduction

Les hyperfréquences ou micro-ondes.

Situation dans le spectre électromagnétique
Quand on parle de micro-ondes on désigne un domaine particulier de fréquence des ondes électromagnétiques dont la fréquence est comprise entre 300 MHz et 300 GHz. Il s’agit donc de ce qu’on appelle les hyperfréquences. (noter que un Mégahertz MHz vaut 106Hz, un Gigahertz GHz vaut 109Hz, un Terahertz THz vaut 1012Hz, )
Dans le vide ou dans l’air, la fréquence N d’une onde électromagnétique est reliée à sa longueur d’onde (0 par la relation : (0 = c/N où c=3 108m/s est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. On exprime aussi souvent la fréquence de l’onde en termes de pulsation w suivant : w = 2(N.

Les micro-ondes sont situées dans la moitié inférieure des fréquences du spectre des ondes électromagnétiques. Symétriquement les ondes visibles sont situées dans la moitié supérieure haute.
Fréquence (N)Longueur d’onde (050 Hz104 kmOndes radioélectriques RF, RF=Radiofréquences30 kHz10 kmOndes kilométriquesOndes radioélectriques RF100 kHz3000 mOndes radioélectriques RF1 MHz300 mOndes radioélectriques RF10 MHz30 mOndes radioélectriques RF (réseau)100 MHz3 mOndes métriquesMicro-ondes UHF,
UHF=Ultra Hautes Fréquences300 MHz1 mOndes décimétriquesMicro-ondes UHF1 GHz30 cmMicro-ondes UHF3 GHz10 cmOndes centimétriquesMicro-ondes SHF
UHF=Supra Hautes Fréquences10 GHz3 cmMicro-ondes EHF
EHF=Extra Hautes Fréquences30 GHz1 cmMicro-ondes EHF300 GHz
"=> 1000 GHz"1 mm
"0,3 mm"Ondes millimétriquesInfrarouges300 THz1 (mOndes micrométriquesOndes visible, optique.0,9(m à 0,5(mUltraviolets600 THz10 nmRayons-X, rayons (> 3 1016 Hz< 10 nmOndes nanométriques
BandeFréquence (N)Longueur d’onde (0L1 à 2 GHz30 à 15 cmS2 à 4 GHz15 à 7,5 cmMagnétron (Four micro-ondes) à 2,45 GHzC4 à 8 GHz7,5 à 3,5 cmX8 à 12 GHz3,75 à 2,5 cmPour sondes spatialesKu12 à 18 GHz2,5 à 1,67 cm…K18 à 27 GHz1,67 à 1,11 cmKa27 à 40 GHz1,11 à 0,75 cmU40 à 60 GHz0,75 à 0,5 cmV60 à 80 GHz0,5 à 0,375 cmW80 à 100 GHz0,375 à 0,3 cm
La bande de fréquences micro-ondes située entre 1GHz et 100GHz est subdivisée en sous bandes comme suit :



Historique :
L’électromagnétisme a été fondé par le théoricien James Clerck Maxwell qui formula ses équations vers 1860 (Traité sur l’électricité et le magnétisme de 1873). Ce n’est que vingt ans plus tard (1888) que Heinrich Hertz pu produire et détecter des ondes électromagnétiques à une fréquence de l’ordre de 1GHz (soit décimétriques). Trois ans plus tard (1890) Marconi montra expérimentalement qu’on pouvait faire voyager ces ondes en espace libre entre des points éloignés. Sept ans ensuite (1897), Lord Rayleigh démontra théoriquement qu’on pouvait guider ces ondes dans des tubes métalliques creux appelés maintenant guide d’onde.
Les télécommunications modernes (dites TSF "Télécommunications Sans Fil" à l’époque) sont nées au début du XXe siècle, soit seulement quelques années après, suites aux travaux de Kennelly et Heavyside qui découvrirent que ces ondes pouvaient se réfléchir sur certaines couches de l’ionosphère (soit vers 100km de hauteur).Dés 1907, des tubes électroniques sources inventés par Lee de Forest furent utilisés pendant environ 50 ans. Les progrès techniques furent spectaculaires notamment dans le domaine militaire pendant la première guerre mondiale. En France, les premières émissions de radiodiffusion eurent lieu vers 1920 notamment à partir de la tour Eiffel.
Le système radar (Radio Detection and Ranging) vit le jour dans les années 1930 par la mise au point d’un nouveau type de source tube micro-onde : le magnétron et d’un nouveau type d’antenne micro-onde, le réflecteur paraboloïdal. L’une des premiers installés sur un navire le fut en 1935 à bord du paquebot Normandie. Les bases théoriques et pratiques furent particulièrement développées pendant la seconde guerre mondiale et dans les années 1950.

A titre de comparaison rappelons quelques grandes dates propres au rayonnement optique visible et des rayons-X : Les lois de la réflexion et de la réfraction étaient connues des Grecs. Elles conduisent aux angles des rayons réfléchis et transmis par un miroir selon celui de la lumière incidente. On les attribue à Willebrod van Roijen Snell (Hollande) qui les énonça suivant un fondement géométrique vers 1621 mais on parle généralement des lois de Snell-Descartes puisqu’elles furent toutes deux décrites analytiquement par René Descartes (France) en 1637. Les lois de propagation des ondes lumineuses ont étés établies par James Clerk Maxwell (Ecosse) à partir de 1865 mais elles ne furent pas immédiatement étendues aux rayons-x découverts par Wilhelm Conrad Röntgen (Allemagne) en 1895. Il s’en suivit les premières mesures de diffraction-x par des cristaux effectuées par Max von Laue (Allemagne) vers 1912 (1914?) et réalisée par Rudolf et Knipping.


Figure : Spectre Electromagnétique.


Quelques applications notables :
Télécommunications terrestres et Transmission en espace libre seront traitées dans le détail.
Radionavigation (Radar, avionique MLS : Microwave Landing System développé pour permettre l’atterrissage automatique des avions).
Electronique (miniaturisation des circuits de ce type les rend particulièrement aptes aux applications spatiales).
Fours à micro-ondes (à partir du Magnétron source fonctionnant à 2,45 GHz, la pénétration des micro-ondes dans des matériaux diélectriques à pertes provoque une dissipation de chaleur).
Hyperthermie micro-ondes médicale (focaliser des micro-ondes sur une tumeur cancéreuse pour la détruire. Comme tous les rayonnements la dose dangereuse est d’environ 1mW/cm2 pour nos tissus).
Radioastronomie étude du cosmos (antennes paraboliques de 100m de diamètre).
Radiométrie micro-onde (mesure humidité, étude des ressources naturelles, de jour comme de nuit).
Accélérateurs de particules (Klystron : tubes spécifiquement micro-ondes de très forte puissance : 100kW pour accélérer des particules à des vitesses relativistes ; Superklystron : pour atteindre des températures > 10 millions de degrés et produire la fusion de l’hydrogène).
Industrie et recherche en science des matériaux : Polymérisation de plastiques, Spectroscopies diélectriques (mesure de la permittivité diélectrique).

Transmission terrestre. Les lignes et les circuits micro-onde.
Parmi les lignes pour la transmission terrestre et parmi les circuits micro-onde on trouve trois catégories particulièrement importantes :
Les lignes de télécommunication terrestre : Lignes bifilaires, coaxiales et les fibres optiques.
Les lignes à bande : composants passifs de circuits électroniques micro-onde.
Les guides d’onde métalliques : techniques de mesure au laboratoire et capteurs circuits passifs.

Les lignes de télécommunication terrestre :
La ligne bifilaire :
C’est historiquement le premier type de lignes utilisé pour les liaisons télégraphiques et téléphoniques. Ses deux fils conducteurs étaient maintenus à distance constante (environ 20 cm) par des supports isolants.
L’affaiblissement de la ligne est faible et permet des liaisons de plusieurs dizaines de kilomètres sans besoin d’amplification. Par contre une seule communication passait par ligne dans ces conditions.
La majorité des câbles de transmission de données sont de type "paires torsadées". Ces câbles peuvent contenir une ou plusieurs paires de fils, chacune étant légèrement torsadée sur elle-même. Le principe local est celui de la ligne bifilaire. Pour augmenter le nombre de liaisons possibles, des câbles téléphoniques ont été obtenus en regrouppant des centaines de lignes bifilaire (182 et 1792 paires de fils conducteurs d’environ 0,5 à 2mm).
 
Figure : Ligne Bifilaire. Câble téléphonique à 2x91 paires bifilaire.


Figure : câbles UTP Unshielded Twisted Pair ou STP Shielded Twisted Pair.

Caractéristiques remarquables : Ligne bifilaire simple
Capacité par unité de longueur :  EMBED Equation.3  [F/m]
Inductance par unité de longueur :  EMBED Equation.3  [H/m]
Impédance Caractéristique :  EMBED Equation.3 

La ligne coaxiale : (Par exemple pour connecter un lecteur DVD et la télévision).
 
Figure : Câble coaxiale. Câble téléphonique à lignes coaxiales.
Interurbain a 4 paires coaxiales, 12 quartes et une paire centrale
et Câble 28 paires coaxiales.

Dans ce cas le conducteur extérieur (souvent mis à la terre) sert de blindage pour le conducteur central et joue aussi le rôle de conducteur retour.
L’affaiblissement de la ligne dépend de la qualité du milieu diélectrique utilisé
Nature du diélectriqueConstante diélectrique ( à 20°CFacteurs de pertes à 20°CPolyéthylène2,26 de 1 à 3000MHz0,0002 à 1MHz
0,0005 à 3000MHzPolystyrène2,56 de 60 à 3000MHz0,0001 à 100MHz
0,003 à 3000MHzTéflon (Polytétrafluoréthylène)2,1 de 60 à 3000MHz0,002 à 100MHz
0,00015 à 3000MHz Elle présente une bande passante importante et peuvent supporter plusieurs centaines de communications téléphoniques échelonnées en fréquence par procédé de multiplexage. Des faisceaux de câbles coaxiaux sont utilisés pour les lignes téléphoniques en France.
Sur la figure on voit un câble dit interurbain 2,6/9,5 contenant quatre paires coaxiales ayant chacune un cœur de 2,6mm et une gaine de 9,5mm. Sa bande passante est de 12MHz, soit 2700 voies.
Le câble 1,2/4,4 comprend 28 paires coaxiales pour la même bande passante. Des câble 3,7/13,5 de 4 à 10 paires ont une bande passante de 60MHz, soit 10800 voies.
Ils nécessitent un relais amplificateur tous les 2 à 5 km suivant le type.

Caractéristiques remarquables : Ligne coaxiale simple
Capacité par unité de longueur :  EMBED Equation.3  en [F/m]
Inductance par unité de longueur :  EMBED Equation.3  en [H/m]
Impédance Caractéristique :  EMBED Equation.3  où (r=(/(0.

Les lignes à bandes et fentes :

Figure : Lignes (a) à micro bande, (b) à fente et (c) coplanaire.

Ces lignes issues des technologies modernes des circuits imprimés sont utilisées dans les circuits actifs micro-ondes de faible puissance. La microbande (microstrip) se compose d’une bande substrat diélectrique métallisé complètement d’un coté et le long d’une bande de l’autre. La ligne à fente (slot line) possède deux bandes parallèles et la ligne coplanaire (coplanar waveguide) présente trois bandes métalliques séparées par deux fentes.

Les guides d’onde métalliques :

Figure : Guides d’ondes métalliques.

De simples tuyaux métalliques à section circulaire ou rectangulaire permettent de conduire les micro-ondes compatibles avec leur taille latérale de l’ordre de la longueur d’onde dans la gamme de fréquence allant de 3GHz à 90GHz.
On peut atteindre un blindage totale des ondes transportées et des pertes par effet joule pratiquement nulles en utilisant l’air comme diélectrique (isolant remarquable) et en argentant ou dorant la surface interne.

Les guides d’onde diélectriques et les fibres optiques :

Figure : Guides d’ondes diélectrique.

Le cœur est ici constitué d’un diélectrique de permittivité supérieure à celle du diélectrique gaine, à l’interface duquel s’effectuent les réflexions multiples.
Les fibres optiques telles que celles constituées de silice fonctionnent avec de très faibles pertes (0 pour le champ résultant de la superposition de l’onde incidente et réfléchie.


Cas 1 : Onde Transverse électrique (TE). Champ électrique incident perpendiculaire au plan d’incidence (alors le champ magnétique est dans le plan d’incidence).
On utilisera les conventions de la  REF _Ref86654460 \h Figure 3 pour la représentation des ondes incidentes et réfléchies. Ici le champ électrique de l’onde incidente est perpendiculaire au plan d’incidence. On considère le cas de l’incidence oblique d’angle ( mais ces démonstrations s’étendent au cas de l’incidence normale ((=(/2).

 le vecteur y est vers nous.
Figure  SEQ Figure \* ARABIC 3 : ondes incidente et réfléchie par un plan conducteur ; le champ électrique incident est normal au plan d’incidence.

Expressions des champs électriques et magnétiques propagés.

On a suit l’onde incidente caractérisée par :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ou 2(/(.
L’équation de Maxwell-Faraday sur  EMBED Equation.3  conduit à :
 EMBED Equation.3  soit à :  EMBED Equation.3 
où le produit vectoriel est :  EMBED Equation.3 
donc  EMBED Equation.3 
en rappelant que le module du vecteur induction magnétique dans le vide est :  EMBED Equation.3 
on obtient finalement :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 

On procède de même pour l’onde réfléchie :
Le champ électrique vaut :  EMBED Equation.3  et son vecteur d’onde : EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
Le champ magnétique s’obtient grâce à la relation :  EMBED Equation.3 
D’où  EMBED Equation.3  avec :  EMBED Equation.3 
soit :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 

Les conditions aux limites en x = 0 imposent que l’on ait  EMBED Equation.3 . Attention dans cette notation T indique une composante tangente au dioptre ((Oy,Oz), plan de l’interface) et ne doit pas être confondu avec l’adjectif transverse qui lui se réfère à l’orientation du champ par rapport au plan d’incidence (ici ( du dioptre). Dans le milieu d’incidence noté 1 (x>0), l’onde est la superposition des champs incidents et réfléchis  EMBED Equation.3 . Puisque les champs  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  n’ont pas de composante normale au dioptre on a  EMBED Equation.3 , ou encore . On en déduit que le champ réfléchi a un sens opposé au champ incident :  EMBED Equation.3  et que son amplitude est donc :  EMBED Equation.3 .
Puisque le trièdre formé par  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et la direction de propagation est directe, on en déduit que  EMBED Equation.3  est alors dirigé vers le haut contrairement à  EMBED Equation.3  et de même on obtient :  EMBED Equation.3 .
Notons que les amplitudes des champs après réflexion ne sont pas atténuées et c’est pour cela qu’on parle de réflexion totale (pas d’onde transmise dans le milieu conducteur).
Finalement avec  EMBED Equation.3 , on obtient :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
On en déduit le champ électrique total coté vide (diélectrique x>0) par la superposition :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

et le champ magnétique qui lui est associé :
 EMBED Equation.3 

L’onde résultante (interférence champ incident et réfléchi) est transverse électrique (TE) tout comme l’onde incidente et réfléchie. Elle n’est pas transverse magnétique (TM).
On parle aussi du mode H car seul le champ magnétique a une composante dans la direction de propagation (z).
Le champ magnétique possède deux composantes orthogonales comprises dans le plan d’incidence. On dit qu’il a une polarisation elliptique perpendiculaire au champ électrique. Ces deux composantes Hx et Hz sont déphasés de 90.


Propagation de l’onde et de l’énergie.
Déterminons le vecteur de Poynting :  EMBED Equation.3 . Rappelons que  EMBED Equation.3  n’est pas une opération linéaire et qu’en toute rigueur on calcule :  EMBED Equation.3 . Puisqu’on va considérer ici la moyenne sur le temps de  EMBED Equation.3 , utilisons la formule :  EMBED Equation.3 . On peut ainsi pousser plus loin la notation complexe, soit :  EMBED Equation.3 ,
à ce stade on peut remarquer parmi les termes intervenant dans les deux composantes non nulles Px et Pz que :
La composante longitudinale du champ magnétique Hz est en quadrature avec Ey (et avec Hx).
La composante perpendiculaire du champ magnétique Hx vibre en phase avec Ey.

on obtient en conservant l’écriture complexe :  EMBED Equation.3 
L’expression complexe des composantes montre que :
Puique Px est un imaginaire pur : la puissance propagée selon x est réactive. Un régime d’onde stationnaire pure s’installe dans la direction perpendiculaire au dioptre.
Puique Py est nul : il n’y a pas de puissance électromagnétique transportée selon y.
Pz est un réel pur et correspond à  EMBED Equation.3  : la puissance propagée selon z est active. C’est la seule composante qui a un sens physique (celui d’une puissance propagée). Notez que cette composante est fonction de l’angle de réflexion et modulo de x (la distance au plan). L’onde résultante se propage selon z avec le vecteur d’onde guidée :  EMBED Equation.3 

Pour l’exercice on peut considérer le calcul partant de la définition du vecteur de Poynting :
 EMBED Equation.3 
avec :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
on obtient  EMBED Equation.3 
On prend maintenant la moyenne temporelle qui est nulle pour le sin(wt+…) et vaut 1/2 pour le sin2(wt+…).  EMBED Equation.3 . On retrouve la même expression du terme réel.

Cas 2 : Onde Transverse Magnétique (TM). Champ magnétique incident perpendiculaire au plan d’incidence (alors le champ électrique est dans le plan d’incidence).

Les conventions de représentation des ondes incidentes et réfléchies sont données par la  REF _Ref86664729 \h Figure 4
 EMBED Word.Picture.8 
Figure  SEQ Figure \* ARABIC 4 : ondes incidentes et réfléchies par un plan conducteur ; le champ magnétique incident est normal au plan d’incidence.

Expressions des champs électriques et magnétiques propagés.
Les calculs se mènent de façon similaire, on obtient pour l’onde incidente :
 
  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  

Considérons les relations de continuité à l’interface du conducteur parfait pour déterminer le sens des champs après réflexion. Concernant le champ magnétique, la condition de continuité concerne sa composante normale  EMBED Equation.3  or il est purement tangent au dioptre dans le cas présent (suivant Oy). Nous devons donc raisonner à partir des composantes du champ électrique. Comme nous l’avons vu :  EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3 . De plus  EMBED Equation.3  doit être perpendiculaire à la direction de propagation  EMBED Equation.3  ce qui impose son sens et permet d’en déduire que  EMBED Equation.3 .

Par conséquent on obtient pour l’onde réfléchie :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

d’où pour l’onde résultante dans le milieu diélectrique :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
L’onde résultante est transverse magnétique (TM) tout comme l’onde incidente et réfléchie. Elle n’est pas transverse électrique (TE).
On parle aussi du mode E car seul le champ électrique a une composante dans la direction de propagation (z).

Propagation de l’onde et de l’énergie.
La composante longitudinale du champ électrique Ez est en quadrature avec Ex (et avec Hy).
La composante perpendiculaire du champ électrique Ex vibre en phase avec Hy.

le vecteur de Poynting correspondant est :  EMBED Equation.3 
soit en conservant la notation complexe :  EMBED Equation.3 
On aboutit aux mêmes conclusions pour l’onde incidente TM que pour l’onde incidente TE.
Px est un imaginaire pur.
Py est nul.
Pz est réel pur: la puissance active se propage selon z avec le vecteur d’onde guidée :  EMBED Equation.3 .

Pour estimer la puissance propagée le long de z il faudrait intégrer sur un intervalle de x (en choisissant une période en x par exemple). Ceci revient à calculer le flux du vecteur de Poynting au travers d’une section transverse à la direction de propagation.



Quelques remarques et grandeurs utiles généralisables aux deux cas considérés (TE et TM) :

Le module du vecteur d’onde correspondant à l’onde se déplaçant en espace illimité s’écrit  EMBED Equation.3  avec c la célérité de l’onde dans le diélectrique (le vide par exemple c0).

Vitesse de phase  EMBED Equation.3  de l’onde guidée.
Le vecteur propagation de l’onde guidée s’écrit : . On peut en déduire la vitesse de phase de l’onde guidée selon la relation :  EMBED Equation.3 , soit pour l’onde guidée :  EMBED Equation.3 
Puisque  EMBED Equation.3  on a forcément :  EMBED Equation.3 . Il n’y a rien de choquant car c’est une vitesse de phase et non d’une particule.

La  REF _Ref86657878 \h Figure 5 représente deux plans équiphase consécutifs pour l’onde réfléchie. La longueur d’onde ( représente la distance parcourue par cette onde durant une période T et est définie par :
 EMBED Equation.3 .
Si on note (x et (z les distances entre ces deux plans mesurées le long des axes x et z. On peut les qualifier de "longueurs d’onde apparentes". Ces deux plans joignent des points ayant un déphasage de 2( (par définition ils sont sur deux plans équiphase et il faut donc le même temps pour parcourir ( (trajet oblique), (x (le long de x) et (z (le long de z)).

Figure  SEQ Figure \* ARABIC 5 : représentation de deux plans d’onde en phase de l’onde réfléchie.
On constate que géométriquement  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 . Ce qui permet de réécrire la vitesse de propagation de l’onde guidée observée selon Oz :  EMBED Equation.3  (notons que  EMBED Equation.3  augmente avec ().
Les ondes planes incidente et réfléchie se propagent à la célérité c (vitesse de propagation libre dans le milieu diélectrique), mais la superposition des deux ondes semble se propager plus vite le long de Oz et à la vitesse  EMBED Equation.3 .



Impédance de l’onde guidée.
Il est souvent utile d’introduire l’impédance de l’onde résultante. C’est le rapport des champs :  EMBED Equation.3 
Dans le cas d’une onde TE, seule sa composante suivant la direction de propagation active de l’énergie (Oz) peut se définir et fait intervenir le rapport des composantes transverses des champs à cette direction :
 EMBED Equation.3 .
Pour l’onde TM on obtient :
 EMBED Equation.3 .

Guidage par deux plans conducteurs parallèles.

Approche empirique
 L’approche développée ici s’appuie sur le cas 1) étudié ci dessus où l’onde incidente est TE, en confinant l’onde entre 2 plans conducteurs parallèles. On ajoute donc un plan conducteur (1’ également parallèle à (Oyz) distant de (1 de dx.

Figure  SEQ Figure \* ARABIC 6 : Shéma indiquant les ondes se propageant entre deux plans parallèles distants de a.

Dans un premier temps, on cherche à conserver les solutions établies dans le chapitre précédent ce qui n’a de sens que si les conditions aux limites sont respectées, c'est-à-dire :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  sur les deux conducteurs, soit en x=0 et x=dx.

Une méthode plus générale sera développée dans un chapitre ultérieur.


Condition nécessaire pour qu’il y ait propagation :
La composante du champ électrique tangentielle aux interfaces est :
 EMBED Equation.3 
La composante du champ magnétique normale aux interfaces est :
 EMBED Equation.3 
Pour que les relations  EMBED Equation.3  soient vérifiées, il est nécessaire que  EMBED Equation.3  en x=0 et x=dx.
Donc :  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 , avec m=1,2,3,…

( Si on fixe l’incidence (() et la taille du guide (dx), une onde se propagera si sa longueur d’onde est telle que  :  EMBED Equation.3  (ressemble à la loi de Bragg utilisée en diffraction sur un cristal de période dx).

( Pour une onde monochromatique (() sur un guide donné (dx), l’onde se propage si elle entre à l’angle ( :  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 .

On peut vérifier que pour l’onde TM, ET1=0 avec ET1=Ez = , impose les mêmes conditions.

Dans ce cas on a alors des solutions qui correspondent à des réflexions multiples cohérentes entre plans parallèles comme le représente la  REF _Ref86665023 \h Figure 7.

 EMBED Word.Picture.8 
Figure  SEQ Figure \* ARABIC 7 : Schématisation de réflexions multiples entre deux plans conducteurs parallèles. Les plans de l’onde réfléchie sont représentés perpendiculairement à la direction des réflexions. L’onde résultante elle se propage parallèlement aux plans.

Cas particulier EMBED Equation.3  :
Premier cas : onde incidente TE : les calculs ci dessus conduisent à Ey = 0, Hx = Hz = 0. Il n’y a donc pas de champ propagé. Dans le cas m = 0 il n’y a pas de mode TE.
Deuxième cas : le mode TM existe.



Propagation dans un guide d’onde rectangulaire.

Approche empirique.
En adoptant la même méthode que précédemment, il s’agit d’ajouter 2 plans latéraux parallèles (2 et (’2 parallèles à (Oxz) distants de dy comme l’indique la  REF _Ref86722332 \h Figure 8.

Figure  SEQ Figure \* ARABIC 8 : représentation du guide d’onde rectangulaire.
Dans cette représentation, on a fait le choix de placer l’origine du référentiel O sur un coin du guide comme indiqué sur la  REF _Ref86724161 \h Figure 9.

Figure  SEQ Figure \* ARABIC 9 : vue de la section du guide avec choix de l’origine sur un coin du guide.

Conséquences des conditions aux limites pour le champ électrique.

Cas 1) onde TE avec  EMBED Equation.3 . Il faudra  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  sur (2 et (’2 aussi, avec  EMBED Equation.3  dans le métal. Pour ces deux plans les composantes tangentielles sont  EMBED Equation.3  or pour l’onde TE on a vu :  EMBED Equation.3 
Cette condition est donc automatiquement vérifiée et on peut ainsi placer les plans (2 et (’2 où l’on veut (( dy) et conserver les expressions trouvées précédemment. Le choix que l’on a fait  REF _Ref86724161 \h Figure 9 est valable mais particulier. La configuration de l’onde électromagnétique est régie par la valeur d’un entier m et la condition vu avant (avec n) :
 EMBED Equation.3 

Cas 2) onde TM avec  EMBED Equation.3 . Il faudra avoir  EMBED Equation.3  sur les plans ((1,(’1) et ((2,(’2) simultanément. Sur ((1,(’1) on veut  EMBED Equation.3  et sur ((2,(’2) on veut  EMBED Equation.3  avec :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Ey = 0
 EMBED Equation.3  or cette condition est à priori impossible à satisfaire.

Généralisation aux modes TEmn (TMmn).
Dans l’étude précédente nous avons vu que la structure de l’onde électromagnétique est liée à la valeur d’un entier m par la relation :
 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

Cependant, nous n’avons traité qu’un cas particulier où OxOz est le plan d’incidence. Il n’y a pas de réflexion sur (2 et (’2. La nomenclature correspondant à ce type d’onde est alors TEm0 (confinement x).

Comme la géométrie du système le permet, on aurait pu choisir OyOz comme plan d’incidence, il en serait ressorti la condition :
 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
La nomenclature correspondant à ce type d’onde est alors TE0n (confinement y).

Nous verrons ultérieurement, quand nous aborderons la méthode générale, que ces notations se généralisent aux modes TEmn avec m et n entiers. Il en ira de même avec les modes TMmn.

Pour les modes TE, m = 1, n = 0 et m = 0, n = 1 représentent les modes fondamentaux TE10 et TE01. La grande majorité des guides d’ondes adaptés aux micro-ondes (longueurs d’onde millimétriques à centimétriques) fonctionnent sur la propagation de ces modes.

En examinant les conditions aux limites, nous avons vu que les modes TM0n et TMm0 ne peuvent pas se propager. Par contre, les modes TMmn avec  EMBED Equation.3  pourront se propager.


Propagation du mode fondamental TE10

Nouvelle écriture des champs résultants.
Remplaçons dans les expressions vues avant  EMBED Equation.3  par  EMBED Equation.3  puisque  EMBED Equation.3  pour m=1. On a donc obtenu pour ce mode fondamental et le champ magnétique qui lui est associé :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

La forme du terme d’amplitude dans les expressions ci dessus est liée à la méthode employée pour élaborer cette solution. Elle consistait à partir de la réflexion d’une onde d’amplitude E0 sur un seul plan conducteur. On peut, sans perdre en généralisation, renommer l’amplitude du champ électrique en posant  EMBED Equation.3 . Cela revient à procéder à un changement de l’origine des phases et à introduire une amplitude deux fois plus faible que dans le cas traité ci-dessus de l’onde guidée par un plan conducteur unique. On effectue la même opération sur le champ magnétique  EMBED Equation.3 .
Nous avons aussi vu que :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  où kg est le module du vecteur d’onde guidée et  EMBED Equation.3 .

On notera finalement les composantes des champs :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

Si on ne s’intéresse qu’aux valeurs algébriques des amplitudes non nulles des champs :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


Examen de la densité de charge surfacique des conducteurs.
Les conditions aux limites imposent :  EMBED Equation.3 , avec  EMBED Equation.3  de 1 vers 2.
soit, puisque les champs sont nuls dans le conducteur :  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 

donc finalement, en n’écrivant que les amplitudes :
sur la paroi (2 définie par y = dy et  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 
donc sur cette paroi conductrice la valeur algébrique de l’amplitude de la densité de charge superficielle est négative :  EMBED Equation.3 .

sur la paroi (2’ définie par y = 0 et  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 
donc sur cette paroi conductrice la valeur algébrique de l’amplitude de la densité de charge superficielle est positive :  EMBED Equation.3 .

Fréquence de coupure minimum.
Le champ électrique résultant doit satisfaire aux équations de Maxwell et à l’équation de propagation dans le diélectrique (ici le vide) :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
or pour le mode fondamental TE10 :
 EMBED Equation.3 
donc
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
Soit :
 EMBED Equation.3 
Équation  SEQ Équation \* ARABIC 1
on pose :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  il vient :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
on obtient :  EMBED Equation.3 
le terme  EMBED Equation.3  est nécessairement positif, donc le terme  EMBED Equation.3  l’est aussi et il faut donc que la pulsation satisfasse la condition :  EMBED Equation.3  soit encore :  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  représente une pulsation de coupure minimum et Nc une fréquence de coupure minimum. Si  EMBED Equation.3 , alors  EMBED Equation.3  et la vitesse de phase est imaginaire pure ; l’onde est alors amortie dans la direction de propagation : il n’y a donc pas d’onde qui se propage dans le guide sur de longues distances. L’onde doit ainsi avoir une énergie suffisante pour se propager sans amortissement intrinsèque (une longueur d’onde suffisamment petite par rapport à la largeur du guide).


Vitesse de phase, vitesse de groupe.
Exprimons la vitesse de phase de l’onde TE10.
On dispose des relations :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  soit :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

De l’ REF _Ref86725568 \h Équation 1 on tire pour la vitesse de phase :  EMBED Equation.3  où  EMBED Equation.3 
Expression de la vitesse de groupe de l’onde TE10 :
Par définition :  EMBED Equation.3  or  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
donc  EMBED Equation.3  d’où  EMBED Equation.3 
finalement :  EMBED Equation.3 
Bilan énergétique.
L’expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting est :  EMBED Equation.3 
soit pour le mode TE10 on doit calculer :
 EMBED Equation.3 et en ne conservant que les composantes réelles on obtient :
 EMBED Equation.3  en Watt/m2.
avec :  EMBED Equation.3 

Comme on pouvait s’y attendre ce résultat indique que l’énergie se propage dans la direction dans laquelle l’onde est guidée. Il reste alors à calculer le flux de ce vecteur à travers une section du guide ce qui donne :
 EMBED Equation.3 
or  EMBED Equation.3 
nous avons utilisé :  EMBED Equation.3 

On obtient au final le flux moyen au travers de la section de guide de surface dxdy :
 EMBED Equation.3  en Watts.

Propagation des modes TEmn

Méthode générale.
Nous allons aborder ici une méthode générale d’obtention des équations différentielles qui régissent les composantes du champ électromagnétique dans un guide de section quelconque, dans l’hypothèse d’une propagation sans pertes (ni par la traversée du diélectrique, ni par la réflexion sur le métal). Les calculs ne seront détaillés que pour le cas des ondes TE mais ils sont transposables sans difficulté majeure.
La direction de guidage reste Oz, le champ électrique étant transverse à la direction de propagation  EMBED Equation.3 , il aura une composante nulle dans cette direction. Conservons une polarisation quelconque pour  EMBED Equation.3 . On peut écrire :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
les termes d’amplitude des composantes des champs Ex, Ey, Hx, Hy et Hz (notés avec () dépendent à priori des variables de position x et y mais pas de z car le guide est supposé invariant par translation en z.

Equations différentielles couplées.
De l’équation de Maxwell-Faraday  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 , en utilisant l’expression du rotanionnel en coordonnées cartésiennes  EMBED Equation.3  et vu que les dérivées partielles en  EMBED Equation.3  des amplitudes sont nulles, on obtient :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
De l’équation de Maxwell-Ampère  EMBED Equation.3  on obtient :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

On dispose donc au final de 6 équations aux dérivées partielles devant être respectées :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

Equation différentielle pour Hz.
Les équations (4) et (5) établissent une relation entre les amplitudes de Ey et Hx pour l’une et entre l’amplitude de Ex et Hy pour l’autre. On peut donc substituer Hx à Ey dans (2) et Hy à Ex dans (1). Les deux nouvelles équations obtenues établissent une relation entre Hx et Hz pour l’une et entre Hy et Hz pour l’autre :
 EMBED Equation.3 , soit :  EMBED Equation.3 
où  EMBED Equation.3 .

En utilisant les expressions (4) et (5) on va pouvoir exprimer :Ex, Ey, Ez, Hx et Hy en fonction de Hz. Multiplions (6) par kg :  EMBED Equation.3 
où on identifie Hx et Hy en utilisant (4) et (5) :  EMBED Equation.3 

Réécrivons le système (1) (2) et dérivons pour retrouver les dérivées partielles de (6) :
 EMBED Equation.3 , on dérive :  EMBED Equation.3 
Dans (6) et après multiplication de chaque membre par  EMBED Equation.3 /kg on obtient de (6) :
 EMBED Equation.3 
Équation  SEQ Équation \* ARABIC 2
où on pose  EMBED Equation.3  qui sera supposé non nul dans la suite avec  EMBED Equation.3 .

Méthode de séparation des variables.
La résolution de cette équation différentielle se fait en employant la méthode de séparation des variables. On pose donc  EMBED Equation.3 . En substituant dans l’ REF _Ref86813359 \h Équation 2 et en séparant les variables, il vient :
 EMBED Equation.3 
Le terme de gauche ne dépend que de x et celui de droite que de y. Les variables x et y étant indépendantes l’égalité impose que les deux termes soient constants. On peut montrer que cette constante est nécessairement négative (sinon les champs obtenus ne satisfont pas les conditions aux limites) et donc poser :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 .
ce qui revient à résoudre :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
En imposant pour les constantes ( qu’elles sont positives, les solutions en X et Y se mettent sous la forme :
 EMBED Equation.3 
d’où
 EMBED Equation.3 

Expression des autres composantes des champs.
De l’expression de Hz, que l’on vient d’obtenir, et des relations rappelées ci-dessous

 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

on déduit à partir des autres composantes :
 EMBED Equation.3 

Conditions aux limites pour le guide d’onde rectangulaire.
Sur le plan conducteur (1 situé en x=0 on doit avoir pour l’une des composantes tangentielle Ey = 0 et pour l’une des composantes normale Hx = 0 quelque soit la valeur de y ; donc  EMBED Equation.3 . Notez que  EMBED Equation.3  De même sur le plan (’1 en x=dx, on doit aussi avoir Ey = 0 et Hx = 0 ce qui implique :  EMBED Equation.3  soit  EMBED Equation.3 .
Par un raisonnement analogue sur les plans (2 et (’2 en y=0 et y=dy, on obtient :  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .

Expression des champs électrique et magnétique.
Finalement la configuration du champ électromagnétique est définie par deux entiers m et n ; les composantes du mode TEmn s’écrivent :

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
et
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
on note  EMBED Equation.3  le module du vecteur d’onde dans le diélectrique (illimité).
on note  EMBED Equation.3  le module du vecteur de l’onde guidée et où v( est la vitesse de phase.
Comme pour le mode TE10 on associe une pulsation de coupure à kc en posant :  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
k, kg et kc sont liés entre eux par la relation :  EMBED Equation.3 
Équation  SEQ Équation \* ARABIC 3

L’ REF _Ref86820085 \h Équation 3 conduit à  EMBED Equation.3  d’où la condition nécessaire pour qu’il y ait propagation :
 EMBED Equation.3 
La vitesse de phase s’écrit alors :  EMBED Equation.3 
on calcule la vitesse de groupe à partir de :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
On constate que la vitesse de phase et la vitesse de groupe dépendent de la pulsation. Le système est donc dispersif.

 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Figure  SEQ Figure \* ARABIC 10 : courbes représentatives du comportement de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe pour un guide rectangle de taille : dx=1cm et dy=1,5cm.

Les deux séries de courbes représentées sur la  REF _Ref86828703 \h Figure 10 pour chaque mode admettent une asymptote horizontale v=c et une asymptote verticale N = Nc,mn qui dépend du mode. Les fréquences plus basses que cette limite ne se propagent pas. Notons que Nc est inversement proportionnel à la taille du guide, ainsi un guide plus étroit est plus limitatif (la plage des fréquences propagées est plus petite et déplacée vers les hautes fréquences. Ce guide propage à plus haute énergie).

Le mode TE01 est le mode fondamental qui peut propager des ondes de plus faible fréquence que les autres (donc de moindre énergie). Pour qu’un signal transporté par un tel guide ne soit pas trop déformé il est intéressant de travailler en configuration monomode, i.e. avec  EMBED Equation.3 . Il faudra alors adapter les dimensions du guide à la fréquence wð que l on souhaite propager.



Guidage en mode TEM. Introduction des lignes à constantes réparties.

Nous avons vu que la propagation dans les guides d ondes était décrite par les équations (modes TE) :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  Avec :  EMBED Equation.3  où  EMBED Equation.3 
D’où la possibilité d’exprimer Hx, Hy, Ey et Ez en fonction de Hz à condition que  EMBED Equation.3 . C’était le cas pour le guide d’onde rectangulaire mais ce n’est pas une règle générale.

Modes TEM :
Par exemple pour le guide coaxial (ou la ligne bifilaire), la présence de deux conducteurs au lieu d’un modifie l’écriture des conditions aux limites et on peut alors montrer qu’il existe des modes TEM de fréquence de coupure nulle qui se propagent dans ces systèmes. Les solutions et les équations trouvées précédemment ne conviennent plus. Il peut exister différents types d’ondes satisfaisant les équations de Maxwell simultanément :
- modes TE  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
- modes TM  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
- modes TEM  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
Si  EMBED Equation.3 , alors Hz = 0 (voir eq.6 ci-dessus) et les modes sont simultanément TE et TM. On les note TEM. Il est important de retenir que les modes TEM sont les seuls qui se propagent si on travaille avec des basses fréquences (de sorte que  EMBED Equation.3 ).
 EMBED Word.Picture.8 
Figure  SEQ Figure \* ARABIC 11 : Guide coaxial d’âme (1) et gaine (2) faits de conducteurs parfaits, cerclant un diélectrique (3) parfait.

AN : Pour un guide cylindrique de tailles R1=2,4mm et R2=8,8mm des ondes TE ou TM (avec des composantes non nulles en Ez ou Bz et qui ne sont donc pas TEM) peuvent se propager mais à des fréquences très élevées si leur longueur d’onde est de la taille des dimensions transverses du guide (pour (8,5GHz). A plus basse fréquence, seul les modes TEM peuvent exister. Dans ce régime, l’ARQP (Approximation des Régimes Quasi-Permanents) peut être justifiée et l’électrocinétique utilisée pour l’étude des lignes de transmission comme nous le verrons ultérieurement.

Condition d’existence de la notion de tension.
Les relations entre champs et potentiels conduisent à :
 EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  vecteur dit retardé.
-  EMBED Equation.3  est longitudinal pour les modes TEM
-  EMBED Equation.3  n’est a priori pas longitudinal pour les modes TE et TM.
La force électromotrice dans un circuit est définie par  EMBED Equation.3 . En général,  EMBED Equation.3  dépend du chemin suivit ; ce terme est non nul pour les modes TE ou TM et il est alors impossible de définir sans ambiguïté la notion de tension. Dans ce cas il faut déterminer explicitement les champs  EMBED Equation.3 .

Aux basses fréquences (N=(/2(
 :