Produit Scalaire
31 déc. 2006 ... Exercices résolus par le calcul de produits scalaires : application à des triangles,
des trapèzes, des carrés... Sommaire ... Produit scalaire et théorème de la
médiane ..... Le point G, centre de gravité de ABCD, est un point fixe :.
part of the document
Le produit scalaire avec GéoPlan
Exercices résolus par le calcul de produits scalaires : application à des triangles, des trapèzes, des carrés...
Sommaire
1. Hauteur et médiane d'un triangle rectangle
2. La médiane de l'un est la hauteur de l'autre
3. Carré d'aire cinq fois plus petite...
4. Dans la foulée : droites perpendiculaires
5. Triangle rectangle isocèle
6. Trapèze rectangle
7. Un curieux point de concours
8. Hauteur d'un triangle
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal
Exercices
1. Droites perpendiculaires
2. Calculs d'angles
3. Relations métriques dans le triangle
4. Triangulation
5. Équations de cercles en géométrie analytique
6. Lieux de points
7. Hauteur d'un triangle
8. Produit scalaire et théorème de la médiane
Faire des maths
avec GéoPlan : HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/"http://debart.pagesperso-orange.fr
Ce document Word : http://www.debart.fr/doc/produit_scalaire.doc
Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/produit_scalaire.pdf
Page HTML : HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/produit_scalaire_classique.html"http://debart.pagesperso-orange.fr/1s/produit_scalaire_classique.html
Document n° 45, réalisé le 16/6/2003, modifié le 31/12/2006
Définitions
Définition 1 (carré des normes)
si = , |||| = |||| = AB.
On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre : . = EMBED Equation.3 [ || + ||2 - ||||2 - ||||2 ].
. se note 2 = ||||2 et si = , alors 2 = 2 = ||||2 = AB2.
Définition un peu délicate du produit scalaire comme forme bilinéaire symétrique définie positive. Comme souvent avec les mathématiques modernes c'est simple, les calculs sont faciles, mais trop abstraits et hors programme de 1S.
Définition 2 (projection orthogonale)
Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires. Pour calculer le produit scalaire ., on peut remplacer le vecteur par sa projection orthogonale sur le vecteur .
Sur la figure . = EMBED Unknown.EMBED Unknown=EMBED Unknown.EMBED Unknown= AB × C'D' (car EMBED Unknown et EMBED Unknown sont de même sens).
Définition simple et intuitive issue de l'expérience physique du travail d'une force. Il faut démontrer ou admettre que le produit scalaire est indépendant du choix des bipoints représentant les vecteurs.
Définition 3 (expression trigonométrique)
. = |||| × |||| × cos ¸, où ¸ est l'angle (, ) formé par les directions des vecteurs.
Sur la figure de droite en choisissant deux vecteurs de même origine O : . = EMBED Unknown.EMBED Unknown=EMBED Unknown.EMBED Unknown= OM × ON × cos ¸.
Si - EMBED Equation.3 ÒE
hqeæCJUVaJhqeæ6CJ]aJjò¿hqeæCJEHöÿUaJ j|s©A
hqeæCJUVaJhqeæCJaJjhqeæCJUaJj¾hqeæCJEHöÿUaJ j
WB
hqeæCJUVaJ.1«1¹1º1¿1À122222222&2'2(2)2C2D2Q2R2S2T2U2V2c2d2e2f2g2h2u2v2öîåîåîÙîʼÙîÙîÙîÙîÙîÙîseÙîÙîV jæÓE
hqeæCJUVaJjaÊhqeæCJEHôÿUaJ jÓÓE
hqeæCJUVaJjCÈhqeæCJEHôÿUaJ jnÓE
hqeæCJUVaJj?ÆhqeæCJEHöÿUaJ jjs©A
hqeæCJUVaJj ÄhqeæCJEHôÿUaJ jRÓE
hqeæCJUVaJjhqeæCJUaJhqeæCJH*aJhqeæCJaJhqeæ6CJaJ!¬1C2³2333z3¹3r4Ð4Ñ4õ4Õ566±6²677M8N89¬99ô9õ9g:Ü:Ý:ýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýøøgd v2w2x2|2}22222222222 2¡2®2¯2°2±2ì2í233V3W3z3{3÷3ø3õ4ö455ñåÝåÝÎÀåÝåݱ£åÝåÝåÝ}ÝrÝgÝåÝgÝåÝX j¯s©A
hqeæCJUVaJhqeæ6CJ]aJhqeæ5CJ\aJhqeæCJH*aJj¨ÒhqeæCJEHöÿUaJ j
WB
hqeæCJUVaJj¤ÐhqeæCJEHöÿUaJ j_s©A
hqeæCJUVaJj ÎhqeæCJEHöÿUaJ jjs©A
hqeæCJUVaJhqeæCJaJjhqeæCJUaJjÌhqeæCJEHôÿUaJ"55555555555'5(5)5*5+5,595:5;5]>°?²?ðâÖÎÃÎÃλΰÎÖÎÃÎÃÎçÎÃÎçÎÎÎÎÎÎÎÎÎÎÎÖÎÖÎhG4BCJaJhh³hqeæ6CJaJhqeæCJH*aJhqeæCJH*aJhqeæ5CJ\aJhCJaJhqeæ6CJ]aJhqeæCJaJjhqeæCJUaJjÚFhqeæCJEHôÿUaJ já[ÀB
hqeæCJUVaJ4Ý:Þ: ;
;7;j;¬;ó;ô;DhqeæCJEHöÿUaJ j%v©A
hqeæCJUVaJj9~hqeæCJEHöÿUaJ j½t©A
hqeæCJUVaJjhqeæCJUaJhqeæCJH*aJhqeæCJaJhqeæ&TRURhRiRRR¤R¥R²R³R´RµR¶R·RÄRÅRÆRÇRÊRËRØRÙRÚRÛRíRîRSS(S)S6S7S8S9S:S;SHSISJSKS^SöîåîåîÙîʼÙîÙîÙîÙîÙîåîåîÙîÊtÙîÙîfÙîjhqeæCJEHöÿUaJj
hqeæCJEHöÿUaJj-hqeæCJEHöÿUaJ jnWB
hqeæCJUVaJj)hqeæCJEHöÿUaJ j%v©A
hqeæCJUVaJj$hqeæCJEHöÿUaJ j½t©A
hqeæCJUVaJjhqeæCJUaJhqeæCJH*aJhqeæCJaJhqeæCJH*aJ(^S_SbS|SõSöSÄÄ Ä Ä Ä"Ä$Ä>Ä@ÄBÄDÄFÄHÄJÄdÄfÄhÄjÄlÄnÄÄÄÄÄöîêØÌÊî»ÌîÌîÌîÌîwiÌîÌîZLÌj
hqeæCJEHöÿUaJ jjs©A
hqeæCJUVaJj0hqeæCJEHôÿUaJ j
