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Exercice II Pluton & Charon (5pts)

Généralités. 1.1. Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est constante. 1.2. Pour observer un mouvement  ...




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Afrique 2008 EXERCICE II. PLUTON ET CHARON (5 points)
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1. Généralités

Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est constante.

Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération  EMBED Equation.DSMT4  du mobile doit être radial (porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du cercle) et de norme constante.

1.3.









Force d'interaction gravitationnelle  EMBED Equation.DSMT4 exercée par le corps A sur le corps B :
 EMBED Equation.DSMT4 

2. Étude du système Pluton - Charon

2.1. Période de révolution
La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour complet autour du Soleil, soit 248 années sidérales.

2.2. Étude du mouvement de Charon
2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre d’inertie G de Charon de masse MC dans le référentiel plutonocentrique galiléen :
 EMBED Equation.DSMT4 
Or  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
En simplifiant par MC il vient :  EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4 
 Caractéristiques du accélération  EMBED Equation.DSMT4  :
- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)
- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car dirigé selon -  EMBED Equation.DSMT4 .
- norme :  EMBED Equation.DSMT4  : la norme est constante car G, MP1 et R sont constants.
2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. D’après la question 1.2. ces deux conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.

D’autre part, dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s’écrit aussi :  EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  vecteur unitaire tel que  EMBED Equation.DSMT4 
Et  EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
En identifiant les deux expressions de  EMBED Equation.DSMT4 , il vient :  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 
v² =  EMBED Equation.DSMT4  finalement : v =  EMBED Equation.DSMT4  (en ne gardant que la solution positive).
2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon fasse un tour complet autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2(R) à la vitesse v.
Ainsi v =  EMBED Equation.DSMT4  ( T =  EMBED Equation.DSMT4 
2.2.4. Reportons l’expression de v dans celle de T :
T =  EMBED Equation.DSMT4 
En élevant au carré : T² = 4(². EMBED Equation.DSMT4  Finalement :  EMBED Equation.DSMT4 
2.3. Détermination de la masse de Pluton
2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période de révolution T de Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et Charon.
2.3.2. On a :  EMBED Equation.DSMT4  avec R en m et T en s !!
MP1 EMBED Equation.DSMT4 = 1,42.1022 kg.
Remarque : on vérifie bien que MP1 > MC … avec environ un facteur 10 seulement.
2.3.3. Avec la relation :  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  il vient :  EMBED Equation.DSMT4 
soit finalement :  EMBED Equation.DSMT4  = MP1 – MC
MP2 EMBED Equation.DSMT4  = 1,26.1022 kg
2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.1022 kg. Cette valeur est plus proche de 1,26.1022 kg (écart relatif de  EMBED Equation.DSMT4  = 4%) que de 1,42.1022 kg (écart relatif de  EMBED Equation.DSMT4  = 8%).
On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. L’hypothèse formulée au 2.3.3. est sans doute vraie.
 EMBED Equation.DSMT4 

P

C

R

 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

Image de Pluton et Charon, prise par le télescope spatial Hubble, le 21 Février 1994