4. Poussée d'un fluide sur une paroi verticale - Université Virtuelle ...
Mécanique des fluides. Statique des fluides. Mr Riadh Ben Hamouda. Attention !
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Mécanique des fluides
Statique des fluides
Mr Riadh Ben Hamouda
Attention !
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Objectifs du chapitre :
Ce chapitre est consacré à létude des fluides au repos. Les lois et théorèmes fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le théorème de Pascal, le principe dArchimède et la relation fondamentale de lhydrostatique sont expliqués.
Les questions et problèmes tels que le calcul des presses hydrauliques la détermination de la distribution de la pression dans un réservoir, ainsi que tous les ouvrages en contacts avec des fluides sont basés sur les lois et théorèmes fondamentaux de la statique des fluides.
Au terme de ce chapitre létudiant doit être capable:
- dappliquer la relation fondamentale de lhydrostatique,
- dénoncer le théorème de Pascal,
- de calculer le torseur associé aux forces de pression dun fluide sur une paroi plane verticale,
- de déterminer la position du centre de poussée.
- dévaluer la poussée dArchimède agissant sur un corps immergé dans un fluide,
Pré-réquis :
- Connaître le calcul torsoriel
- Connaître le calcul dintégral,
- Connaître le principe fondamental de la statique,
Eléments de contenu :
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc205207328" 1 Notion de pression en un point dun fluide PAGEREF _Toc205207328 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc205207329" 2 Relation fondamentale de lhydrostatique PAGEREF _Toc205207329 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc205207330" 3 Théorème de Pascal PAGEREF _Toc205207330 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc205207331" 3.1 Enoncé PAGEREF _Toc205207331 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc205207332" 3.2 Démonstration PAGEREF _Toc205207332 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc205207333" 4 Poussée dun fluide sur une paroi verticale PAGEREF _Toc205207333 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc205207334" 4.1 Hypothèses PAGEREF _Toc205207334 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc205207335" 4.2 Eléments de réduction du torseur des forces de pression PAGEREF _Toc205207335 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc205207336" 4.2.1 Résultante PAGEREF _Toc205207336 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc205207337" 4.2.2 Moment PAGEREF _Toc205207337 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc205207338" 4.3 Centre de poussée PAGEREF _Toc205207338 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc205207339" 5 Théorème dArchimède PAGEREF _Toc205207339 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc205207340" 5.1 Énoncé PAGEREF _Toc205207340 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc205207341" 5.2 Démonstration PAGEREF _Toc205207341 \h 11
Notion de pression en un point dun fluide
La pression est une grandeur scalaire. Cest lintensité dune force divisée par la surface sur laquelle elle est exercée.
Elle est définie en un point A dun fluide par lexpression suivante :
EMBED Equation.3
où :
dS : Surface élémentaire de la facette de centre A (en mètre carré),
EMBED Equation.3 : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface,
EMBED Equation.3 : Force élémentaire de pression qui sexerce sur la surface (en Newton),
PA : pression en A (en Pascal),
Sur la surfacz de centre A, daire dS, orientée par sa normale extérieure EMBED Equation.3 , la force de pression élémentaire EMBED Equation.3 sexprime par :
EMBED Equation.3
Exemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force) représentant le poids de l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavités (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air à la même pression.
Si on s'élève de 5 000 m, la pression atmosphérique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié moindre. Doù la nécessité dune pressurisation des avions.
En plongée sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
Plus on descend profond, plus la pression est élevée car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : à 10 mètres de profondeur, chaque cm2 de notre peau supportera un poids égal à :
1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = léquivalent du poids d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est égal à 1kg. Le poids dun litre deau de mer est un plus important (à cause du sel quelle contient) : 1,026 kg.
En négligeant cette différence, on considérera que de manière générale un litre d'eau pèse 1 kg.
Par conséquent, la pression due à l'eau à 10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est-à-dire 1 bar. Si on descend à nouveau de -10 m, la pression augmentera à nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due à l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport à la surface.
La pression hydrostatique (comme la pression atmosphérique) sexerce dans toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).
Remarque :
Lunité internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m². Cette unité est très petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mécanique, résistance des matériaux , etc.,lunité utilisée est le méga pascal :
1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa
En mécanique des fluides on utilise encore très souvent le bar. Le bar est égal à peu près à la pression atmosphérique moyenne :
1 bar = 105 Pa.
Relation fondamentale de lhydrostatique
Considérons un élément de volume dun fluide incompressible (liquide homogène de poids volumique EMBED Equation.3 ). Cet élément de volume a la forme dun cylindre daxe (G, EMBED Equation.3 ) qui fait un angle EMBED Equation.3 avec laxe vertical (O, EMBED Equation.3 ) dun repère R(O, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ). Soit l la longueur du cylindre et soit dS sa section droite.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Soit G1 daltitude Z1 et G2 daltitude Z2, les centres de surface de sections droites extrêmes.
Etudions léquilibre du cylindre élémentaire, celui-ci est soumis aux :
actions à distance : son poids : EMBED Equation.3
actions de contact : forces de pression sexerçant sur :
la surface latérale : £ EMBED Equation.3 .
les deux surfaces planes extrêmes : EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1 et en G2.
Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle :
EMBED Equation.3
En projection sur laxe de symétrie (G, EMBED Equation.3 ) du cylindre,
EMBED Equation.3
Exprimons la différence de pression P1 P2 après avoir divisé par dS et remarqué que EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 : Relation fondamentale de lhydrostatique.
Autre forme plus générale :
En divisant les deux membres de la relation précédente par EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Comme G1 et G2 ont été choisis de façon arbitraire à lintérieur dun fluide de poids volumique EMBED Equation.3 , on peut écrire en un point quelconque daltitude Z, ou règne la pression p :
EMBED Equation.3
Théorème de Pascal
3.1 Enoncé
Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout autre point.
3.2 Démonstration
Supposons quau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression EMBED Equation.3 qui en résulte en G1.
Appliquons la relation fondamentale de lhydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide
à létat initial: EMBED Equation.3 (1)
à létat final : EMBED Equation.3 (2)
En faisant la différence entre les équations (2) et (1) on obtient : EMBED Equation.3 .
Doù EMBED Equation.3
Poussée dun fluide sur une paroi verticale
4.1 Hypothèses
La paroi verticale possède un axe de symétrie (G, EMBED Equation.3 ). G est son centre de surface. Dun coté de la paroi il y a un fluide de poids volumique EMBED Equation.3 , de lautre coté, il y a de lair à la pression atmosphérique Patm. On désigne par PG la pression au centre de surface G du coté fluide.
4.2 Eléments de réduction du torseur des forces de pression
Connaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est déterminée en appliquant la relation fondamentale de lhydrostatique : EMBED Equation.3
Dans le repère (G, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) défini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc EMBED Equation.3
Exprimons la force de pression en M : EMBED Equation.3
Soit EMBED Equation.3 le torseur associé aux forces de pression relative :
EMBED Equation.3
4.2.1 Résultante
EMBED Equation.3
que lon peut écrire en mettant en facteur les termes constants :
EMBED Equation.3
On note que EMBED Equation.3 (aire de la paroi),
EMBED Equation.3 : Moment statique de la surface S par rapport à laxe (G, EMBED Equation.3 ), donc
EMBED Equation.3
4.2.2 Moment
EMBED Equation.3
Dans le repère (G, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) on peut écrire:
EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 ,
donc EMBED Equation.3
Sachant que EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.3
On sait que EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 : Moment quadratique de la surface S par rapport à laxe (G, EMBED Equation.3 ) passant par le centre de surface G. Donc
EMBED Equation.3
En résumé :
EMBED Equation.3
4.3 Centre de poussée
On cherche à déterminer un point G0 où le moment résultant des forces de pression est nul.
Compte tenu de lhypothèse de symétrie, si ce point existe il appartient à laxe (G, EMBED Equation.3 ) et il est tel que :
EMBED Equation.3 .
Ecrivons alors que :
EMBED Equation.3
Avec les résultats précédents, on obtient :
EMBED Equation.3 ,
ce qui conduit à
EMBED Equation.3
Go existe , il sappelle le centre de poussée de la paroi.
Remarque :
Le centre de poussée est toujours au-dessous du centre de surface G.
Théorème dArchimède
5.1 Enoncé
Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps).
PARCH=Áfluide.Vimm.g SHAPE \* MERGEFORMAT
5.2 Démonstration
Dans un fluide (E) de poids volumique EMBED Equation.3 , imaginons un certain volume de fluide (E1) délimité par un contour fermé (S) :
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
Si le fluide est au repos, il est évident que (E1) est en équilibre sous leffet des actions mécaniques extérieures suivantes :
Action de la pesanteur, modélisable par le torseur : EMBED Equation.3
Action des forces de pression EMBED Equation.3 du fluide (E2) qui entoure (E1) modélisable par le torseur : EMBED Equation.3
On peut donc écrire léquation déquilibre de (E1) : EMBED Equation.3
Nous savons quen G, centre de gravité du fluide (E1) le torseur des forces de pesanteur se réduit à un glisseur : EMBED Equation.3
Il est donc évident quau même point G le torseur des forces de pression EMBED Equation.3 se réduira lui aussi à un glisseur :
EMBED Equation.3
Léquation déquilibre de la portion de fluide (E1) sécrit : EMBED Equation.3
(E1) est ici une portion de fluide et EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 est le poids du fluide occupant le volume (E1). Si le volume (E1) est occupé par un solide immergé ayant le même contour S, les forces de poussée sur ce contours (S) sont les mêmes , ce qui revient à dire que la force de poussée ne dépend que du volume du fluide déplacé et non pas de la nature du solide immergé (plomb, acier, etc).
Conclusion :
Tout corps solide immergé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à des forces de pression EMBED Equation.3 dont les actions mécaniques sont modélisables au centre de gravité du fluide déplacé par un glisseur dont la résultante est directement opposée au poids du fluide déplacé.
EMBED Equation.3
Remarques :
1er cas : Si le solide immergé est homogène alors le centre de poussée G, point dapplication de la poussée dArchimède sera confondu avec le centre de gravité du solide. Léquilibre du solide est indifférent.
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
2ième cas : Si le solide immergé est hétérogène alors le centre de poussée G, point dapplication de la poussée dArchimède nest pas confondu avec le centre de gravité Gs du solide. Léquilibre du solide est stable si G est au dessus de GS. Léquilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Ministère de lEnseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Mécanique des fluides
Statique des fluides
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Fluide
Solide immergé S
Fluide
Volume imaginaire (E1)
Délimité par le contour S
Volume (E2)
extérieur au contour S
EMBED Equation.3
Poids de (E1)
EMBED Equation.3
Fluide
Solide immergé S
G
Poids du solide
EMBED Equation.3
Fluide
Solide immergé S
G
Poids du solide
GS
Position stable
Université Virtuelle de Tunis
