Synthèse de correcteurs - GEEA.ORG
On parle de correcteur PID. Le correcteur va permettre d'intervenir sur la
précision, le temps de réponse et la stabilité du système en boucle fermée.
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système commandé. Les performances dun système de commande se jugera donc par :
la qualité de son régime transitoire : rapidité et amortissement du système.
la qualité de son régime permanent : erreur de position, erreur de traînage, réponse en fréquence.
sa stabilité
On caractérisera donc les performances dun système par la manière dont il répond à un certains nombres dentrées typiques ( échelon, rampe, impulsion et sinusoïde ). Si ces performances ne satisfont pas au cahier des charges fixé, il sera nécessaire dajouter un système de correction permettant de modifier et daméliorer les performances du système commandé.
Fonction de transfert
C(p) = K avec K > 0
Action du correcteur
Ce correcteur équivaut à une translation de la courbe de module dans le plan de Bode.
Avantages :
augmentation de la bande passante du système
améliore la rapidité du système.
Augmentation de la précision pour un système sans intégrateur
Inconvénients :
amplification sur toute la bande de fréquence
« rapproche » le point critique -> instabilité
Réalisation
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Fonction de transfert
EMBED Equation.DSMT4 avec K > 0 et EMBED Equation.DSMT4
Action du correcteur
Laction de ce correcteur se fait sur les basses fréquences. Il introduit un gain et une action intégrale.
Avantages :
annule lerreur statique grâce à laction intégrale
Inconvénients :
retard de phase à cause de laction intégrale qui peut conduire à une instabilité si le correcteur est mal placé.
Placement dimensionnement
Compte tenu de leffet parasite, il faut que la pulsation wi du correcteur PI soit petite devant la pulsation en boucle ouverte au gain unité wu. Ainsi, le retard de phase amené sera éloigné du point critique et ne conduira à pas à rendre le système instable. Une méthode classique consiste à placer le correcteur par la méthode du pôle dominant. Le pôle dominant (Ämax) du système correspond à la constante de temps la plus grande, c est donc lui qui limite la rapidité du système.
déterminer la fonction du système en boucle ouverte.
fixer EMBED Equation.DSMT4 pour éliminer le pôle dominant.
déterminer K pour avoir la marge de phase du cahier des charges.
Réalisation
Remarque : en régime permanent, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, le montage dérivateur va alors se comporter comme un comparateur et sa sortie va saturer. Pour palier à cet inconvénient, on rajoute en pratique une résistance R0>>R en parallèle avec R et C.
Fonction de transfert
EMBED Equation.DSMT4 avec K > 0 et EMBED Equation.DSMT4
En fait, ce correcteur présente un gain infini en haute fréquence, ce qui est physiquement irréalisable. Pour limiter le gain aux hautes fréquences, un filtre passe-bas est ajouté :
EMBED Equation.DSMT4 avec K > 0 , EMBED Equation.DSMT4 et a > 1.
Action du correcteur
Ce correcteur permet dapporter une avance de phase théorique maximale de 90°. Son utilité se situe donc autour de la pulsation au gain unité en boucle ouverte wu où il a une action stabilisante.
Avantages :
améliore la stabilité du système.
améliore la rapidité du système.
Inconvénients :
augmente le gain en hautes fréquences -> sensibilité aux bruits accrues
Placement dimensionnement
En principe, lobjectif dun tel correcteur est daméliorer la marge de phase du système. Hors, on voit que le correcteur apporte une avance de phase maximale autour de wd et quil apporte aussi du gain autour de cette pulsation. Une solution pour un placement optimale est de fixer wd=wu (pulsation au gain unité en BO) et de faire en sorte que le gain apporté autour de wu soit de 0dB.
Fixer wd=wu.
Calculer l avance de phase Æ à apporter pour respecter la marge de phase du cahier des charges.
Calculer a =
Calculer K pour avoir 20 log |C(j.wu)| = 0dB
Réalisation
EMBED Equation.DSMT4
avec R1.C1>R2.C2
Fonction de transfert
EMBED Equation.DSMT4 avec K > 0, Äd 0.
Action du correcteur
Ce correcteur correspond à la mise en cascade d un correcteur P.I. suivi d un correcteur P.D.. Il en résulte qu il a une action sur toute les fréquences. En basse fréquence, il a une action intégrale qui permet dannuler lerreur statique. Aux moyennes fréquences, il aura aussi un effet stabilisateur (autour de wu). Il permet de répondre au compromis précision rapidité stabilité.
Avantages :
annule lerreur statique
améliore la rapidité du système.
améliore la stabilité du système.
Placement dimensionnement
Une méthode de placement simple consiste à dimensionner dabord la cellule P.I. puis la cellule P.D. On fixe la pulsation wi dans le domaine des basses fréquences par rapport à wd (wiR1.C1>R2.C2
Les objectifs de performances
Correcteur Proportionnel (P.)
Correcteur Proportionnel Intégral (P.I.)
Correcteur Proportionnel Dérivé (P.D.)
Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé (P.I.D.)
EMBED Equation.3
w
w
(
(
w
w
EMBED Equation.3
(
w
w
EMBED Equation.3
(
w
w
EMBED Equation.3
G(p)
+
-
+
+
D(p)
((p)
Yc(p)
Ym(p)
-20 dB/dec
|K|dB
|K|dB
wi
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
-45°
-90°
wd
a.wd
a
wd
90°
|K|dB
+20 dB/dec
1 + sin Æ
1 - sin Æ
- 20 dB/dec
|K|dB
+ 20 dB/dec
wi
wd
a.wd
a
wd
+90°
-90°
1 - sin Æ
1 + sin Æ
