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Bac maths S 2010 - Amérique du Nord - Descartes et les ...

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Bac S – Amérique du Nord – 2010

Orthogonalité dans l’espace – Probabilité – Plan complexe – Arithmétique et complexes – Fonction exponentielle.

Annales bac S non corrigées :  HYPERLINK "http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html" http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2010/bac_s_amerique_2010.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2010
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ).
Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :
A(1 ; -2 ; 4) B("2 ; -6 ; 5) C("4 ; 0 ; -3).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le vecteur  EMBED Equation.3  (1 ; -1 ; -1) est un vecteur normal au plan (ABC).
c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).
b. Déterminer les coordonnées du point O’ projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC).
Soit t le réel tel que EMBED Unknown= tEMBED Unknown.
a. Démontrer que t =EMBED Unknown
b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H.
EXERCICE 2 (3 points)

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.
20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges.
Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ?

2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.
Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égale à  EMBED Equation.3 .

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne).
a. Exprimer en fonction de n la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages.
b. Déterminer l’entier n à partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99.

EXERCICE 3 (5 points) Enseignement obligatoire


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ) d’unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
On considère les points A d’affixe i, B d’affixe -2i et D d’affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z (z `" i) associe le point M d affixe z2 définie par :
z2 =  EMBED Equation.3 .
1. Démontrer que le point E a pour affixe ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )(1+i).

2. Exprimer sous forme algébrique l affixe du point D , associé au point D par l application f.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, (z +2i)(z"i) = 1.
b. En déduire que pour tout point M d affixe z (z `" i) :
BM ×AM = 1
Et ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) = ( EMBED Equation.3 ,EMBED Unknown) + k ×2À où k est un entier relatif.

4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon  EMBED Equation.3 .
b. En utilisant les résultats de la question 3.b., placer le point E associé au point E par l application f. On laissera apparents les traits de construction.

5. Quelle est la nature du triangle BD’E’ ? EXERCICE 3 (5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation
(E) : 16x "3y = 4.

1. Vérifier que le couple (1, 4) est une solution particulière de (E).

2. Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ).
On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d affixe z, associe le point M d affixe z définie par z2 =  EMBED Equation.3 z.
On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante :
le point M0 a pour affixe z0 = i et pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn).
On note zn l’affixe du point Mn
Les pointsM0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure donnée en annexe page 5.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f .

2. On note g la transformation f æ% f æ% f æ% f .
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.
b. En déduire que pour tout entier naturel n, OMn+4 = 4OMn et que (EMBED Unknown,EMBED Unknown) = -  EMBED Equation.3  + k ×2À où k est un entier relatif.
c. Compléter la figure en construisant les points M4, M5 et M6.
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, zn =  EMBED Equation.3 .

4. Soient deux entiers naturels n et p tels que p d" n.
a. Exprimer en fonction de n et p une mesure de (EMBE !Mvy‘’°±óô( ) * : N t u — óèÜóèÜÔȼ°¼°Ô¥–‹–~–¥jXjMAhÞ‡h­4 mH nH uh­4 mH nH sH u#h‘hæ=G5CJaJmHnHsH &h‘h­4 5CJ\aJmHnHsH h‘h‘0JCJaJh‘h‘CJaJjh‘h‘CJUaJh‘h­4 CJaJh‘h­4 6CJaJh‘h–r€6CJaJh‘h^@06CJaJh­4 CJaJhÉ
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