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Chapitre VI : calcul intégral

Calculer les intégrales suivantes (on précisera éventuellement l'intervalle de ...... escl 98 bis (sujet de secours) Soit f la fonction réelle définie sur R par f(x) = 1.




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Chapitre VI : calcul intégral EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

Calculer les intégrales suivantes (on précisera éventuellement l'intervalle de validité) :

1°)  EMBED Equation.3  2°)  EMBED Equation.3  3°)  EMBED Equation.3  4°)  EMBED Equation.3 
5°) EMBED Equation.3  6°)  EMBED Equation.3  7°) EMBED Equation.3  ( EMBED Equation.3 ) 8°)  EMBED Equation.3 
9°) EMBED Equation.3  10°)  EMBED Equation.3  11°)  EMBED Equation.3  ; 12°)  EMBED Equation.3 .

Rep : 1)  EMBED Equation.3  2)  EMBED Equation.3  3) e2/2 ( 1/e ( 1/2 4) ln(2) ( ln(1 ( x) pour x 0 et a ( 1
10) (7e8 + 16e2 + 17)/16 11) 4 -ð 8/e 12) (2 -ð 4
 EMBED Equation.3 
Déterminer les primitives des fonctions suivantes. On précisera dans chaque cas l'intervalle.
1°) f(x) = ln(x) ; 2°) f(x) = x.e -ðx ; 3°) f(x) =  EMBED Equation.3  ;
4°) f(x) = tan(x) ; 5°) f(x) = cotan(x) ; 6°) f(x) =  EMBED Equation.3  .
1°) Montrer que les intégrales I =  EMBED Equation.3  existent.
2°) Calculer I + J et I ( J. En déduire I et J.

Application du changement de variable. Montrer:
-- si f est impaire et continue sur [(a, a], alors  EMBED Equation.3  = 0 (a > 0) ;
-- si f est paire et continue sur [-ða, a], alors  EMBED Equation.3 = 2  EMBED Equation.3 (a > 0) ;
-- si f est périodique de période T est continue sur R, alors  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  .
Calculer :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  .

Etudier rapidement f : x ( x + 1 + e-ðx ; préciser les branches infinies ; tracer Cf. Pour a> 0, calculer l'aire du domaine plan Da = {M(x, y) ; 0 ( x ( a et x + 1 ( y ( f(x) }. Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers +(.

Soit f définie sur R* par f(x) =  EMBED Equation.3  .
1°) Montrer que f est définie, continue et dérivable sur R*. 2°) Montrer que f est impaire.
3°) Calculer f '(x) pour x > 0. On écrira : f(x) = F(2x) -ð F(x) avec F primitive de x (  EMBED Equation.3 sur R*+
(escp 89) Soit f définie sur R par : f(x) =  EMBED Equation.3 
1°) a) Etudier la parité de f.
b) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
c) Montrer que f admet 0 pour limite en +( et -ð(.
2°) a) Montrer que f est dérivable et que f '(x) = 2.exp(-ð4x2) -ð exp(-ðx2) .
b) Etudier la variation de f. Préciser les points où f admet un extremum.
c) Calculer f "(x) et déterminer son signe.
d) Construire Cf (on admettra que le maximum de f est sensiblement égal à 0,3).


Suites définies par une intégrale.

Soit In =  EMBED Equation.3 .
1°) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : (2n + 1) In = -ð2n In-ð1 .
2°) En déduire l'expression de In en fonction de n.

p et q étant deux nombres entiers positifs ou nuls, on pose : B(p, q) =  EMBED Equation.3 .
1°) Comparer B(p, q) et B(q, p).
2°) Etablir la relation : B(p, q) =  EMBED Equation.3  (p ( 1).
3°) Calculer B(0, n) pour tout n appartenant à N ; en déduire B(p, q).

Pour n entier naturel, on pose : In =  EMBED Equation.3 
1°) Quelle est la signification géométrique de I0 ? En déduire la valeur de I0.
2°) Calculer I1.
3°) Montrer que pour tout n ( 2, on a : In =  EMBED Equation.3  In-ð2. En déduire la valeur de In en fonction de n (on distinguera suivant la parité de n).
4°) Montrer que (In ) est une suite positive et décroissante et que cette suite converge vers 0.
5°) Montrer que n(n + 1)(n + 2) In In-ð1 est indépendant de n et calculer sa valeur ; en déduire un équivalent simple de In lorsque In tend vers +(.

Soit In =  EMBED Equation.3  , avec n appartenant à N.
1°) Montrer que la suite (In) est décroissante. En déduire qu'elle est convergente.
2°) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ( 2, on a : In =  EMBED Equation.3  In-ð2.
3°) Après avoir calculé I0 et I1, en déduire I2p et I2p+1, p ( N.
4°) Montrer que pour tout p ( N, on a :  EMBED Equation.3 .
5°) En déduire la limite quand p tend vers +( de  EMBED Equation.3  (formule de Wallis).

On note, pour tout nombre réel a positif et pour tout entier naturel n :
un(a) =  EMBED Equation.3 
1°) Calculer u0(a).
2°) Convergence de la suite ( un(a) )n(N . Soit a > 0 donné.
a) Montrer que pour tout n dans N : 0 ( un(a) (  EMBED Equation.3 .
b) Montrer que la suite ( un(a) ) est décroissante.
c) Déterminer la limite de un(a) quand n tend vers +(.
3°) Forme explicite de un(a).
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n dans N :
a.un+1(a) = -ð1 + (n+1).un(a).
b) Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans N :
un(a) =  EMBED Equation.3 .

(essec math 3 2001) On étudie dans cet exercice la suite (Sn) définie pour n ( 1 par :
 EMBED Equation.3 
A cet effet, on introduit pour tout réel t tel que 0 ( t ( (/2 :
 EMBED Equation.3 
1°) convergence de la suite (Jk/Ik).
a) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0 (t ( (/2 :  EMBED Equation.3 .
b) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier k tel que k ( 0 :  EMBED Equation.3 
c) Exprimer Ik+1 en fonction de Ik en intégrant par parties Ik+1 (on pourra poser u'(t) =cos(t) et v(t) = cos2k+1(t) dans l'intégration par parties).
d) Déduire des résultats précédents que Jk/Ik tend vers 0 quand k tend vers +(.
2°) Convergence et limite de la suite (Sn).
a) Exprimer Ik en fonction de Jk et Jk(1, en intégrant deux fois par parties l'intégrale Ik (k ( 1).
b) En déduire la relation suivante pour k ( 1 :
 EMBED Equation.3 
c) Calculer J0 et I0, puis déterminer la limite S de la suite (Sn).
d) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier k ( 2 :
 EMBED Equation.3 
En déduire un encadrement de Sn+p -ð Sn pour n ( 1 et p (1, puis de S -ð Sn, et montrer que
 EMBED Equation.3 . Autrement dit, Sn +  EMBED Equation.3 constitue une valeur approchée de S à  EMBED Equation.3  près.
e) Ecrire un programme en PASCAL calculant et affichant une valeur approchée du nombre S à 10(6 près.

Extension de la notion d'intégrale.

1°) Justifier l'existence de I =  EMBED Equation.3  et calculer sa valeur. Mêmes questions pour
J =  EMBED Equation.3 , K =  EMBED Equation.3 .
2°) Intégrale de Dirichlet : Montrer que l'intégrale D =  EMBED Equation.3  est convergente.
Indication : en 0 pas de problème, en +( faire une intégration par parties sur l'intervalle [a, X],puis X( +(. On ne demande pas de calculer sa valeur, qui est (/2. Sachant cela, montrer que l'intégrale F =  EMBED Equation.3  est convergente et calculer sa valeur. EMBED Equation.3 

Rappel: une fonction f majorée sur [a, b[ et croissante sur [a, b[ admet une limite finie en b (b étant un nombre réel > a ou +(). Faites un dessin pour vous en convaincre.
1°) Démontrer : (t ( [1, +([ 1/(1 + t2) ( 1/t2. En déduire que la fonction : ( : [1, +([ ( R, définie par : x (  EMBED Equation.3  admet une limite finie en +(, puis que l'intégrale I =  EMBED Equation.3  est convergente.
Quelle est la nature de l'intégrale  EMBED Equation.3 ?
2°) Montrer que la fonction tan définit une bijection de ]-ð( /2, (/2 [ sur R. La réciproque de cette fonction est la fonction Arc tangente, notée Arctan. Etudier cette fonction : ensembles de départ et d'arrivée, continuité, sens de variations, limites. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Déterminer Arctan(0), Arctan(1).
Montrer que la fonction Arctan est dérivable et calculer sa dérivée.
En déduire la valeur de I.
3°) Soit n un entier naturel. Etablir successivement:
( y ( 1  EMBED Equation.3  ;
( x ( R  EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3 .
 EMBED Equation.3  .
Déduire de ce dernier résultat la belle formule :
( = 4.(1 -ð 1/3 + 1/5 -ð1/7 + . . .)
et un algorithme rédigé en turbo-pascal qui calcule une valeur approchée de ( à une précision donnée près.

Autour de la fonction x ( exp(-ðx2 ). Introduction à la loi normale.
1°) Etudier f : x ( exp(-ðx2). Déterminer les points d'inflexion de Cf. Tracer Cf .
2°) Montrer que f est de classe C( sur R et que pour tout entier naturel n il existe Pn polynôme de degré n tel que ( x ( R f (n)(x) = Pn(x).exp(-ðx2).
3°) Soit F(x) =  EMBED Equation.3 . Montrer que F est croissante sur R. Montrer que pour tout t ( 1 :
exp(-ðt2) ( exp(-ðt). En déduire que F est majorée sur R.
Montrer que les intégrales :  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3  sont convergentes.
4°) On admet que  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 . Calculer  EMBED Equation.3 .
Calculer  EMBED Equation.3  (changement de variable y =  EMBED Equation.3 ) ,
 EMBED Equation.3  (changement de variable).
5°) Soit G(x) =  EMBED Equation.3 . Calculer G(x). En déduire que l'intégrale  EMBED Equation.3  est convergente . Montrer que l'intégrale  EMBED Equation.3  est convergente et vaut 0.
6°) Montrer que l'intégrale  EMBED Equation.3 est convergente et calculer sa valeur, à l'aide d'une intégration par parties.
Le résultat "établi" au 4 ) :  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  EST A CONNAITRE.


Comparaison d'une série et d'une intégrale

La série de terme général  EMBED Equation.3  est divergente : démonstration par comparaison avec une intégrale généralisée. Démontrer successivement :
( n ( N* ( t ( [n, n + 1]  EMBED Equation.3  ;
( n ( N*  EMBED Equation.3  ;
( N ( 2  EMBED Equation.3 
En déduire le résultat annoncé. Illustration graphique.

Série de Bertrand. 1°) Montrer que l'intégrale  EMBED Equation.3  est convergente et calculer sa valeur.
2°) En vous inspirant de l'exercice précédent, montrer que la série de terme général  EMBED Equation.3 ,
n ( 2, est convergente.






(isg 89 ) Pour n entier naturel non nul on définit la suite (Sn) par :
Sn = 1 + .  EMBED Equation.3 
1°) Justifier pour k entier naturel non nul l'encadrement :
 EMBED Equation.3 
2°) En déduire l'encadrement :
 EMBED Equation.3 .
3°) que peut-on dire de la suite (Sn) ?
4°) A l'aide d'encadrements analogues, montrer que la suite (Tn) définie par :
Tn = 1 +  EMBED Equation.3 
est convergente.



Sommes de Riemann

Calculer les limites quand n tend vers +( des sommes suivantes :
 EMBED Equation.3  ; n EMBED Equation.3  (rappel :  EMBED Equation.3 ) ;  EMBED Equation.3 .

(esg 94 2e épreuve.) Soit k un entier naturel non nul et soit la suite (Un)n(N* définie par :
( n ( N* Un =  EMBED Equation.3 
1°) Déterminer la limite de cette suite pour k = 1, k =2, puis k = 3.
2°) Pour k quelconque > 0 déterminer la limite de la suite (Un).

Soit n un entier ( 2 et un =  EMBED Equation.3 . Démontrer :
1°) ( k ( [[1, n-ð1]]  EMBED Equation.3 .
2°) un (  EMBED Equation.3  ( un -ð  EMBED Equation.3  .
3°)  EMBED Equation.3  .
4°) limn(+( (un) = -ð1.
5°)  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .



Pour n ( N on note un =  EMBED Equation.3 
1°) Montrer que pour tout k appartenant à [[0, n-ð1]] :
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
2°) En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers +(.
3°) Retrouver cette limite en calculant un en fonction de n.

Soit f la fonction définie pour tout x strictement positif par :
 EMBED Equation.3 
1°) Etudier les variations de f. montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.
2°) Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0, +([. En déduire que l'intégrale
 EMBED Equation.3  est convergente et calculer sa valeur.
3°) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose :  EMBED Equation.3 
a) Etablir, pour tout entier j vérifiant 1 ( j ( n, les inégalités :
 EMBED Equation.3 
b) en déduire l'encadrement :
 EMBED Equation.3 
c) Montrer les inégalités :
 EMBED Equation.3 
d) Montrer que la suite (Sn) est convergente et déterminer sa limite.
4°) On rappelle que pour tout entier naturel non nul n, on a l'égalité :  EMBED Equation.3 .
Exprimer, pour tout entier naturel non nul n, la somme  EMBED Equation.3  en fonction de n. En déduire la limite :  EMBED Equation.3 .






Annales E.S.C.L.

escl 88 1°) Vérifier : ( x ( [0, +([ 0 ( ln(1 + x) ( x. En déduire la limite de quand l'entier n tend vers +( de  EMBED Equation.3 .
2°) Soit u la suite réelle définie par un =  EMBED Equation.3 . Montrer que pour tout entier naturel n non nul
un =  EMBED Equation.3 . (On pourra utiliser une intégration par parties.)
En déduire la limite de un et celle de n.un quand n tend vers +(.

escl 89 Soit I la suite de terme général In =  EMBED Equation.3 
1°) a) Calculer I0 et I1.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, In ( EMBED Equation.3 . Etudier la convergence de la suite I.
2°) Calcul d'une valeur approchée de I15.
a) Montrer que ( n ( N In+1 = (n + 1)In -ð 1/e, et :
In =  EMBED Equation.3 
b) En déduire que pour tout n dans N :
0 ( In -ð  EMBED Equation.3 
c) Comment peut-on choisir p pour que
0 ( I15 -ð  EMBED Equation.3  ?
En déduire là l'aide de la calculatrice une valeur approchée de I15 à 10-ð6 près.
c*) Ecrire en turbo-pascal un programme qui affiche une valeur de  EMBED Equation.3 . p est fourni par l'utilisateur. On veillera à minimiser les calculs.

escl 90 Pour tout n dans N, on pose :
In =  EMBED Equation.3  et Jn =  EMBED Equation.3 

1°) Quelle est la dérivée de la fonction f : R ( R définie par f(x) = ln(x +  EMBED Equation.3 ) ? Calculer I0.
2°) Calculer I1.
3°) Montrer que pour tout n dans N, 0 ( In (  EMBED Equation.3  En déduire la limite de In quand n tend vers +(. Montrer que Jn tend vers 0 quand n tend vers +(.
4°) Etablir à l'aide d'une intégration par parties : In =  EMBED Equation.3 .
Quelle est la limite de nIn quand n tend vers +( ?

escl 91 Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 on pose :
In =  EMBED Equation.3  et Jn =  EMBED Equation.3 .
1°) Etude de la suite (Jn)n(1.
a) Calculer J1.
b) Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1 0 ( Jn ( 1/(n+1).
c) Etudier la convergence de la suite (Jn)n(1.
2°) Etude de la suite (In)n(1.
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1 :
In =  EMBED Equation.3 .
b) Etudier la convergence de la suite ( In)n(1.
c) Déterminer un équivalent de In quand n tend vers +(.

escl 92 Soit f : ]1, +([ ( R l'application définie par : (x ( ]1, +([ f(x) =  EMBED Equation.3 .
1°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
2°) Montrer que pour tout entier k tel que k ( 3 : f(k) (  EMBED Equation.3 ( f(k -ð 1).
Pour tout n ( N tel que n ( 2 on note Sn =  EMBED Equation.3 .
3°) a) Montrer que pour tout n ( N tel que n ( 2 : Sn -ð  EMBED Equation.3 .
b) En déduire que pour tout n ( R tel que n ( 2 :
ln( ln(n) ) -ð ln( ln(2) ) ( Sn ( ln( ln(n) ) -ð ln( ln(2) ) + 1/2ln(2) .
c) Etablir : Sn ~+( ln(ln(n)) .
Pour tout n ( N tel que n ( 2 on note :
un = Sn -ð ln( ln(n+1) ) et vn = Sn -ð ln( ln(n) ) .
4°) En utilisant le résultat de la question 2), montrer que les suites (un)n(2 et (vn)n(2 sont adjacentes. On note  EMBED Equation.3  leur limite commune.
5°) a) Montrer que pour tout n ( N tel que n ( 2 : 0 ( vn -ð  EMBED Equation.3 
b) En déduire une valeur approchée de ( à 10-ð2 prés.
b*) Ecrire un programme en turbo-pascal qui utilise le résultat du a) pour calculer et afficher une valeur approchée de  EMBED Equation.3  à moins de e près, e étant un nombre réel > 0 fourni par l'utilisateur.

escl 93 Pour tout entier naturel n on pose :
In =  EMBED Equation.3  et Jn =  EMBED Equation.3 .
1°) a) Former le tableau de variations de f : [0, 1] ( R, x ( x.exp(-ðx2).
b) En déduire, pour tout n de N : 0 ( Jn (  EMBED Equation.3 .
c) Etudier la convergence de la suite (Jn )n(N.
2°) A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout n de N :
In =  EMBED Equation.3 . En déduire la limite de In et celle de nIn quand n tend vers +(.
escl 94 On pose pour tout entier naturel non nul n : In = EMBED Equation.3  , et I0 = e -ð 1.
1°) a) Etablir, pour tout entier naturel n : In+1 = e -ð (n+1)In .
b) Montrer, pour tout entier naturel n : In ( 0.
c) Déduire des questions a) et b) que, pour tout entier naturel n : 0 ( In (  EMBED Equation  .
d) Quelle est la limite de la suite (In)n(N ?
e) Montrer : In ~+(  EMBED Equation .
2°) Soit a un réel différent de I0 ; on note (un)n(N la suite réelle définie par :
 EMBED Equation.3 
Montrer :  EMBED Equation.3 (un(= +( . (On pourra considérer la suite (Dn)n(N définie par Dn = (un -ð In(.)

escl 95 On définit la fonction f : [2,+([ ( R, x (  EMBED Equation.3 
1°) Démontrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 2 :  EMBED Equation.3 .
2°) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on définit l'intégrale :  EMBED Equation.3 .
a) Démontrer que :  EMBED Equation.3 .
b) On définit la fonction F : [2, +( [ ( R , x ( ln( x +  EMBED Equation.3 . Calculer la dérivée de F, et en déduire une expression de In en fonction de n.
c) Déterminer la limite de In -ð ln(n) quand n tend vers +(.
3°) On définit, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : Sn =  EMBED Equation.3 .
a) Montrer que : In+1 ( Sn ( In + 1/ EMBED Equation.3 .
b) Trouver un équivalent simple de Sn quand n tend vers +(.

escl 96 Pour tout entier naturel n on pose : In =  EMBED Equation.3 .
1°) a) Montrer que, pour tout entier naturel n : 0 ( In ( 1/(n+1).
b) En déduire que la suite (In )n(N converge et donner sa limite.
2°) A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout entier naturel n :
In =  EMBED Equation.3 .
3°) a) En déduire pour tout entier naturel n :
0 ( In -ð  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
b) Trouver un équivalent simple de In quand n tend vers +(.



escl 98 1°) Soit x ( [-ð1,1[. a) Montrer, pour tout n de N et tout t de [-ð1, 1[ :  EMBED Equation.3 .
b) En déduire, pour tout n de N et tout t de [-ð1, x] :  EMBED Equation.3 .
c) Etablir, pour tout n de N :  EMBED Equation.3  .
d) En déduire que la série  EMBED Equation.3  [sic] converge et a pour somme (ln(1 ( x). En particulier, montrer  EMBED Equation.3  = ln(2).
2°) Un joueur lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à l'obtention du premier pile. S'il lui a fallu n lancers (n ( N*) pour obtenir ce pile, on lui fait alors tirer au hasard un billet de loterie parmi n billets dont un seul est gagnant. Quelle est la probabilité que ce joueur gagne ?

escl 98 bis (sujet de secours) Soit f la fonction réelle définie sur R par f(x) = EMBED Equation.3
1. Vérifier que f est paire et étudier les variations de f.
2. Montrer que, pour tout réel x, l'intégrale EMBED Equation.3dt existe.
On définit la fonction réelle F sur R par F(x) =EMBED Equation.3dt.
3.a. Etudier le signe de F.
b. Etudier la parité de F.
4. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif  EMBED Equation.3 ( F(x) (  EMBED Equation.3 
b. En déduire les limites de F en -ð( et +(.
5. a.Vérifier, pour tout réel x : (1 -ð 14x4)F'(x) ( 0.
b. Dresser le tableau des variations de F sur [0, +([ .
On admettra qu'une valeur approchée de 14-ð1/4 est 0,52 et qu'une valeur approchée du maximum de F sur [0, +([ f est 0,37.
c. Tracer la courbe représentative de F dans un repère orthonormé (unité 5 cm).

6. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif :
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 -ð F(x) ( EMBED Equation.3.
b.. En déduire que F(x) est équivalent à  EMBED Equation.3 au voisinage de +(.
7. a. Montrer : (n ( N (t ( 0  EMBED Equation.3  ( t4n+4 .
b. En déduire que, pour tout réel x de ]0,  EMBED Equation.3 [, la série EMBED Equation.3 converge.

c. Montrer, pour tout réel x de ]0, 1/2[ :
F(x) =EMBED Equation.3.

escl 99 Pour tout entier naturel n, on pose : wn =  EMBED Equation.3 .
1. Calculer w0 et w1.
2. Montrer que la suite (wn)n(N est décroissante.
3. Montrer, pour tout entier naturel n : wn ( 0. En déduire que la suite (wn)n(N est convergente.
4. Soit n ( N. A l’aide d’une intégration par parties, montrer : wn+2 = (n+1)  EMBED Equation.3 . En déduire : wn+2 =  EMBED Equation.3 wn .
5. Montrer pour tout entier naturel n, en utilisant 2. Et 4. : 0 <  EMBED Equation.3 wn ( wn+1 ( wn . En déduire : wn+1 ~ n(+( wn.
6. Montrer, en utilisant 4. , que la suite (un)n(N de terme général un = (n + 1)wnwn+1 est constante. En déduire : wn ~ n(+(  EMBED Equation.3 .

( escl 2000 (également étude de fonctions) On considère la fonction f : ]-ð1;+([( R définie , pour tout x de ]-ð1;+([, par :
 EMBED Equation.3 
1. a. Montrer que f est continue sur ]-ð1;+([ .
b. Montrer que f est de classe C1 sur ]1, 0[ et sur ]0, +([ EMBED Equation.3 .
Pour tout réel x de  EMBED Equation.3 , calculer f '(x) .
c. Montrer que f '(x) tend vers  EMBED Equation.3  lorsque x tend vers 0 .
d. En déduire que f est de classe C1 sur  EMBED Equation.3 .
2. Montrer :  EMBED Equation.3 .
En déduire les variations de f . On précisera les limites de f en -ð1 et en +( .
3. Montrer que , pour tout x de l'intervalle ] -ð1/2, +([, l'intégrale  EMBED Equation.3  existe .
4. On considère la fonction F définie, pour tout x de ]-ð1/2, +([, par :
 EMBED Equation.3  .
a. Montrer que F est dérivable sur ]-ð1/2; +([et que F est croissante .
b. Montrer :  EMBED Equation.3 .
c. En déduire que F(x) tend vers +( quand x tend vers +( .
d. Montrer que l'intégrale  EMBED Equation.3  est convergente .
En déduire que la fonction F admet une limite finie en EMBED Equation.3  . On ne cherchera pas à calculer cette limite .

( escl 2001, extrait ; cf chap VII.
1°) pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn : R ( R définie par :
(t ( R, fn(t) =  EMBED Equation.3 
a) Soit n ( N. Montrer que limt(+( t2 fn(t) = 0. En déduire que l'intégrale  EMBED Equation.3  est convergente.
b) Montrer : (n ( N*, (X ( [0 ; +([,  EMBED Equation.3 .
c) En déduire : (n ( N ,  EMBED Equation.3  = 1.

( escl 2002 On considère, pour tout n ( N*, la fonction polynomiale Pn : [0 ; +([ ( R définie, pour tout x appartenant à [0 ; +([, par :
 EMBED Equation.3 
I. Etude des fonctions polynomiales Pn
1°) Montrer, pour tout n (N* et tout x ( [0 ; +([ :  EMBED Equation.3 ,
où Pn désigne la dérivée de Pn.
2°) Etudier, pour n ( N*, les variations de Pn sur [0 ; +([ et dresser le tableau de variations de Pn.
3°) Montrer, pour tout n ( N* : Pn(l) < 0.
4°) a) Vérifier, pour tout n ( N* et tout x ( [0 ; +([ :
 EMBED Equation.3 
b) En déduire, pour tout n ( N* : Pn(2) ( 0.
5°) Montrer que, pour tout n ( N*, l'équation Pn(x) = 0, d'inconnue x ( [1 ; +([, admet une solution et une seule, notée xn, et que 1 < xn ( 2.
6°) Ecrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de x2 à 10(3 près.
II. Limite de la suite (xn)n(N*. 1°) Etablir, pour tout n ( N* et tout x ( [0 ; +([ :  EMBED Equation.3 
2°) En déduire, pour tout n ( N* :  EMBED Equation.3 
3°) Démontrer, pour tout n (N* et tout t ( [1 ; +([ : t2n ( 1 ( n(t2 ( 1).
4°) En déduire, pour tout n ( N* :  EMBED Equation.3 , puis :  EMBED Equation.3 
5°) Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite (xn)n(N*.
Annales E.S.C.

esc 97 Soit n un entier naturel non nul. On pose : In =  EMBED Equation.3 
1. Calculer I1.
2. a) Etudier le sens de variation de la suite (In)n(1.
b) Montrer que la suite (In)n(1 est convergente.
c) Montrer que, pour tout x ( [1,e] : ln(x) ( x/e.
d) En déduire  EMBED Equation.3 In.
3. a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : In+1 =  EMBED Equation.3 .

b) En déduire  EMBED Equation.3 nIn.

esc 98 Soit In =  EMBED Equation.3 , n ( N.
1. Calculer I0.
2. (a) Montrer que In ( 0 pour tout n ( N.
(b) Etablir que la suite (In)n(N est décroissante.
(c) En déduire que la suite (In)n(N est convergente. EMBED Equation.3 
3. (a) Justifier l'inégalité : xn ln(1 + x) ( xn pour tout x ( [0, 1].
(b) En déduire que pour tout n ( N : In ( 1/(n+1)
(c) Calculer  EMBED Equation.3 In.
4. (a) En utilisant une intégration par parties, montrer que In =  EMBED Equation.3 .
(b) Montrer que 0 (  EMBED Equation.3  et en déduire un encadrement de In.
(c) En déduire :  EMBED Equation.3 nIn.

esc 99 : voir chapitre VIII
( esc 2001, extrait. cf chap VIII
1°) On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale :  EMBED Equation.3 .
a) Calculer pour A ( 1 l'intégrale  EMBED Equation.3  et en déduire que I1 est divergente.
b) Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier naturel n ( 2, l'intégrale In converge et vaut  EMBED Equation.3 .
c) Etudier les variations de la fonction f définie sur [2 ; +([ par  EMBED Equation.3  et donner sa limite en +(. (On donne  EMBED Equation.3 .)
d) En déduire grâce à I2 que  EMBED Equation.3  converge (on ne cherchera pas à calculer cette série).
( esc 2002 On considère, pour n entier naturel non nul, la fonction fn définie sur IR *+ par : fn (x) =  EMBED Equation.3  pour tout réel x strictement positif.
On définit également sur IR *+ la fonction h par : h(x) =  EMBED Equation.3  pour tout x strictement positif.
1°) Montrer que les fonctions fn et h sont continues sur IR *+ et étudier leur signe.

2°) a) Montrer que l’intégrale impropre  EMBED Equation.3  est convergente et déterminer sa valeur. b) Montrer que l’intégrale impropre  EMBED Equation.3  est convergente. Dans toute la suite de l’exercice on note alors K l’intégrale impropre : K =  EMBED Equation.3 .
3°) a) Montrer, grâce au changement de variable u =  EMBED Equation.3  que K =  EMBED Equation.3 .
b) En déduire que l’intégrale impropre  EMBED Equation.3  converge et est égale à 2K.
c) En déduire également que l’intégrale impropre  EMBED Equation.3  converge et vaut 0.
4°) a) Montrer que pour tout réel x strictement positif, | fn (x)| ( | h(x)|.
En déduire la convergence de l’intégrale  EMBED Equation.3 .
b) Montrer que pour tout réel x strictement positif, h(x) – fn (x) =  EMBED Equation.3 .
c) En déduire successivement :
0 (  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 
–  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  ( 0.
d) Montrer que  EMBED Equation.3  = 0.


Annales EDHEC
edhec 93 Pour n appartenant à N, on pose : In =  EMBED Equation.3 
1°) a) Montrer que pour tout n dans N 0 ( In ( 1 /(n+1) .
b) En déduire que la suite (In ) converge vers 0.
2°) Calculer Io et I1.
3°) Trouver une relation de récurrence entre In et In-ð2 pour tout n supérieur ou égal à 2.
4°) Démontrer par récurrence : ( p ( 1
I2p = (-ð1)p  EMBED Equation.3 
edhec 95 : voir chapitre IV, suites et séries



edhec 96, exercice 1 On considère la suite (dn) définie par
d0 = 1, d1 = 0 et ( n ( N* dn+1 = n(dn + dn-ð1).
1°) a. Calculer d2, d3, d4, d5.
b. Montrer que : ( n ( N dn ( N : dn+1 = (n + 1)dn + (-ð1)n+1
2°) On considère, pour tout entier naturel n, l'intégrale In =  EMBED Equation.3 .
a. Calculer I0, puis exprimer, pour tout entier naturel n, In+1 en fonction de In.
b. En déduire que : ( n ( N e.dn = n! (1 + (-ð1)nIn).
c. Montrer alors que : ( n ( N ,  EMBED Equation.3 .
d. Vérifier que cette dernière inégalité détermine parfaitement dn pour n ( 2, puis retrouver la valeur de d5 obtenue à la deuxième question et calculer d10. On donne  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  à 5.10-ð3 près.

edhec 96, exercice 3 (également étude de fonction)
1°) Montrer que pour tout t > 0 : ln(1+t) > t/(1+t).
2°) Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = e-ðx .1n(1+ex ).
a) Pour tout réel x, calculer f ' (x) et en déduire les variations de f.
b) Calculer  EMBED Equation.3 f(x) et  EMBED Equation.3 f(x).
3°) a) Pour tout réel x, vérifier que : f(x) = 1 -ð f '(x) -ð ex /(1+ex ) En déduire, en fonction de f, une primitive F de f sur R.
b) Montrer que l'intégrale  EMBED Equation.3 f(x)dx est convergente et donner sa valeur.
4°) Soit a un réel et g la fonction définie par : g(x) = 0 si x 0, on peut écrire g'(x) sous la forme
 EMBED Equation.3 
b. Etudier les variations de h, puis en déduire son signe (on donne  EMBED Equation.3 ).
c. En déduire le signe de g(x).
4°) On définit la suite (un) par la donnée de son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence, valable pour tout n de N : un+1 = F(un).
a. Etablir par récurrence que : (n ( N, un+1 ( [0, 1].
b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que (un) est décroissante.
c. En déduire que la suite(un) converge et donner limn(+( (un).

( edhec 2003 On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par : f (x) =  EMBED Equation.2 . 1) a. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale In =  EMBED Equation.2  est convergente et exprimer In en fonction de n.
b. En déduire que In  EMBED Equation.2 .
2) Montrer que la série de terme général un = f (n) est convergente.
3) a. Établir que : (k( IN *, f ( k + 1) (  EMBED Equation.2  ( f ( k).
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b) Quelle est la limite quand n tend vers +( de  EMBED Equation.3  ?
c) Déduire alors du 2 )c) la limite de Sn quand n tend vers +(.
4°) Ecrire en turbo-pascal un programme qui :
--- déclare la fonction f ;
--- utilise cette fonction pour calculer et afficher la valeur de Sn, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 fourni par l'utilisateur.
5°) Déduire du 3 )c) la limite de Pn =  EMBED Equation.3 quand n tend vers +(.

ecricome 97 ( est un réel strictement positif. Pour tout n ( N, on pose : un(() =  EMBED Equation.3 .
1.. Étude de la convergence de la suite (un(())n(N.
a. Montrer que la suite (un(())n(N)) est monotone et convergente. Que peut-on en déduire pour la série de terme général (un(() -ð un+1(()) ?
On note ((() la limite de la suite (un(())n(N
b. On suppose que ((() est non nulle. Démontrer : un(() -ðun+1(() ~n(+(  EMBED Equation.3 .
c. Déduire de ce qui précède que ((() = 0.


2. Dans cette question : ( ( ]0, 1].
a. Montrer que : ( n ( N un(() (  EMBED Equation.3 .
b. Quelle est la nature de la série de terme général un(() ?
3. 0n pose, pour tout entier naturel n : In =  EMBED Equation.3 .
a. Étudier la convergence de l'intégrale généralisée In(() et calculer I0(().
b. Soit un réel x strictement positif. Intégrer par parties :  EMBED Equation.3 , et en déduire une relation simple entre In(() et In-ð1((+1), pour tout n entier naturel non nul.
c. En déduire que : ( n ( N In(() = un(().
4. On suppose désormais que ( > 1.
a. Montrer que, pour tout N entier naturel :  EMBED Equation.3 .
b. En déduire que la série de terme général un(a) est convergente, et donner en fonction de ( la valeur de  EMBED Equation.3 .

ecricome 98 (extrait ; voir chap VII) 1°) Soit g l'application de ]0, +([ dans R définie par :
x ( g(x) = ln EMBED Equation.3 .
a) Montrer que g est dérivable sur ]0, +([ et expliciter sa dérivée.
b) Dresser le tableau de variation de g avec ses éventuelles limites aux bornes.
2°) Soit f l'application de R dans R définie par x ( f(x) = e-ðx ln(1 + ex).
A l'aide d'un changement de variable, montrer que pour tout réel x positif, on a :
 EMBED Equation.3  = g(ex) + 2 ln(2).

( ecricome 99 (extrait ; voir chapitre VII) On rappelle que l intégrale généralisée  EMBED Equation.3 converge et vaut  EMBED Equation.3 . Soit ( un réel strictement positif ; si x est un élément de R+, on pose :
I(x) =  EMBED Equation.3  et J(x) =  EMBED Equation.3 .
1°) a) A l’aide d’un changement de variable, exprimer, pour tout élément x de R+, J(x) en fonction de I( EMBED Equation.3 ).
1°) b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout élément x de R+ :
I(x) = EMBED Equation.3  -ð x  EMBED Equation.3 .
1°) c) En déduire que l intégrale généralisée  EMBED Equation.3  converge et vaut  EMBED Equation.3 .


( ecricome 2002 On considère la famille de fonctions (fn)n(N* définies sur ](1, +([ par
fn(x) = xn ln(1 + x).
1. Etude des fonctions fn.
Soit n ( N*, on note hn la fonction définie sur ](1, +([ par  EMBED Equation.3 
1. Etudier le sens de variation des fonctions hn.
2. Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.
3. Etude du cas particulier n = 1.
a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ](1, +([, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).
b. En déduire les variations de la fonction f1 sur 1(1, +([.
4. Soit n ( N* \ {1}.
a. Justifier la dérivabilité de fn sur ](1, +([ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x).
b. En déduire les variations de fn sur ](1, +([. (On distinguera les cas n pair et n impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.
2. Etude d'une suite.
On considère la suite (Un)n(N* définie par :  EMBED Equation.3 .
2.1. Calcul de U1.
1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que :  EMBED Equation.3 
2. En déduire la valeur de l'intégrale  EMBED Equation.3 .
3. Montrer que U1 = 1/4.

2.2. Convergence de la suite (Un)n(N*.
1. Montrer que la suite (Un)n(N* est monotone.
2. Justifier la convergence de la suite (Un)n(N* (on ne demande pas sa limite).
3. Démontrer que : (n (N*  EMBED Equation.3 
4. En déduire la limite de la suite (Un)n(N*.

2.3. Calcul de Un pour n ( 2.
Pour x ( [0, 1] et n ( N* on pose Sn(x) = 1 ( x + x2 + ... + ((1)nxn =  EMBED Equation.3 .
1. Montrer que  EMBED Equation.3 .
2. En déduire que  EMBED Equation.3 .
3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de Un, montrer que :

 EMBED Equation.3 




Annales ISC-ESLSCA

eslsca 93 On pose : f(x) = EMBED Equation.3  et : g(x) =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .
1°) Montrer que ces intégrales ont un sens lorsque x est un nombre réel strictement positif et différent de 1.
2°) Déterminer explicitement la fonction g.
3°) a) Montrer que la fonction f est dérivable sur son domaine de définition et déterminer sa fonction dérivée f.
b) Que vaut  EMBED Equation.3 f '(x) ?
c) Déterminer les limites de f en 0 et en +(.
4°) a) Déterminer  EMBED Equation.3 [f(x) -ð g(x)], et en déduire  EMBED Equation.3 f(x).
b) Montrer que f ainsi prolongée est dérivable en 1.
5°) Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Déterminer l'allure de la branche infinie de (C) et enfin donner l'allure de (C).

eslsca 95 1°) Pour tout réel x > -ð1 et pour tout entier naturel n, on pose :
In(x) =  EMBED Equation.3 .
a) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout entier n et tout réel x > -ð1, on a :
In+1(x) = -ðIn(x) +  EMBED Equation.3 .
b) Calculer I0(x), en déduˆ˜‰˜Š˜‹˜˜Ž˜¡˜¢˜£˜¤˜ã˜ä˜÷˜ø˜ù˜ú˜û˜™™ ™6™7™I™J™]™^™_™`™c™f™v™y™•™–™íãÛ×Û×ĺÛ×Ûק›Ûז†–†–|–i]|–†–†–V hfe2H*hj©Hhfe2EHîÿUh$j>´¢C
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hfe2CJh% tout entier naturel n, In,n.
b) Montrer que l'on a : ( n ( N In,n ( 1/4n.
4°) Calculer la valeur de Jm,n =  EMBED Equation.3 .


eslsca 99 On considère la fonction f définie sur R+ par  EMBED Equation.3  On pose, pour n entier naturel non nul , In = EMBED Equation.3 .
a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, l'intégrale In est bien définie.
b) Calculer I1. (On pourra, pour ( > 0, effectuer une intégration par parties dans l'intégrale  EMBED Equation.3 , puis faire tendre ( vers 0.)
On pose, pour h et k entiers naturels non nuls, Jh,k =  EMBED Equation.3  et Jh,0 =  EMBED Equation.3 .
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour h ( 1 et k ( 1, on a :
Jh,k =  EMBED Equation.3 Jh,k ›  à Ä Å É Ê Ý Þ ß à !!!!*!+!,!-!n!o!”!•!¨!©!ñ!ò!""""""Y"\"_"`"s"øòøéøòßòÌÀßò¹òßò¦šßò¹ò¹ò‘òßò~rßò‘ò¹òßòjïñhfe2CJEHàÿU$jÒ ;
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b) Calculer Jh,0. En déduire la valeur de Jh,k.
c) Calculer In.
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